Diagonalisabilité d'un endomorphisme ?

[riven1989]

Bonjour,

Je suis en spé bcpst
J'aimerais avoir de l'aide sur un exercice que j'ai eu en colle et que je tente de refaire.

Soit A une matrice appartenant à l'ensemble des matrices à coefficients complexes de dimension n*n avec A différente de la matrice nulle

Soit phi l'endomorphisme qui va de M[IND]n[/IND](C) dans M[IND]n[/IND](C) et qui a toute matrice M associe tr(A)*M + tr(M)*A

(où tr est la fonction trace: la somme des termes diagonaux)

La question est: phi est t'il diagonalisable?

Pour cela, je dois montrer que phi admet n² valeurs propres.
Or: est valeur propre ssi il existe une matrice M non nulle telle que: (M)=;)M
càd: tr(A)*M +tr(M)A=;)M

ssi: (tr(A)-;))*M +tr(M)*A=0

_J'envisage d'abord le cas où M=A (sachant que A différente de 0)

on a alors: (tr(A)-;) + tr(M))*M=0
ce qui nous donne tr(A)-;)+tr(M)=0 (car M=A différente de 0)
càd: =tr(A)+tr(M)=2tr(M)
=2tr(M) est donc valeur propre (car M non nulle)

_Il Faut maintenant envisager le cas où M différente de A, et je bloque ici... :help:

Si qlq'un pourrait m'aider, je lui en serais très reconnaissant! :++:

[ThSQ]

Bon, un petit coup de pouce.

Déjà c'est pas nécessaire d'avoir n² vp différentes pour être diagonalisable (juste azu cas où vu que ta phrase est ambigüe).

Résous f(M) = a*M, prendre la trace (linéaire) peut être une bonne idée
Si je m'ai pas gouru f est diago ssi tr(A) != 0.

[riven1989]

Très bien, je vais essayer :)