Nombres complexes

[mamanmel]

Bonjour à tous,
Je suis une jeune maman qui se remet aux études après une année de "repos". Les maths n'ont jamais été mon fort et là je bloque sur le chapitre des nombres complexes. J'ai deux exercices à faire. Voici le premier:

On considère le nombre complexe z tel que z = (racine de 6 + racine de 2) + i (racine de 6 -racine de 2).

1) Calculer z carré
2) Déterminer le module et un argument de z carré
Déduire alors le module et un argument de z
3) Déterminer les entiers n tels que z puissance n soit un imaginaire.


Pour le 1) je sais que qu'il faut trouver le module de z et l'élevé au carré mais rien que pour le trouver j'ai du mal. Je trouve qqch comme 4((racine de 6 + racine de 2)/ 4 + i (racine de 6 - racine de 2)/4. Mais impossible d'aller plus loin.

Merci d'avance pour votre aide.

[emmanuel 68]

Bonjour,

Pour la 1), il ne faut pas que tu tortures trop l'esprit. Mets juste tout au carré, puis développes l'ensemble et regardes ce que ca donne.

Ensuite, tape l'expression au carré sur ta calculatrice et regarde le résultat qu'elle te donne.

Si vraiment t'es coincé, essaye avec une expression très facile (en ignorant le i dans un premier temps par exemple). Tu verras, ca va te permettre de fixer la méthode. Puis quand t'as bien compris la démarche à faire, tu reconsidère l'expression en entier.

[Huppasacee]

z = (racine de 6 + racine de 2) + i (racine de 6 -racine de 2).

Vous avez donc :



pour trouver le carré de ce nombre, vous faites tout simplement :


vous le multipliez par lui même

vous distribuez ( ou développez , suivant le terme que vous employez )

attention aux signes, aux i², etc. !
Lorsque vous aurez trouvé z², vous repostez et on verra ensuite

il ne faudrait pas faire des calculs si au départ le premier résultat comporte un erreur
Bon courage

[mamanmel]

J'ai trouvé 16. C'est possible? Mais je ne comprends pas à quoi ça correspond exactement. Que faut-il en faire?

(Tu dois me trouver un peu bête, mais je n'ai plus bcp de notions en math donc j'ai énormément de mal).

[Huppasacee]

Distribuons


Là , tu as des identités remarquables dans chaque terme
il est bon que tu les revoies

Lorsque tu repostes, essaie de mettre le détail de tes calculs pou que l'on puisse voir où cela pêche !

[Huppasacee]

Un petit truc pour vérifier tes calculs :

tu prends une feuille quadrillée (petits carreaux , car 1 carreau fait 5 mm )

tu places le point image de z dans un repère orthonormé disons le point M

O est l'origine du repère

tu mesures OM avec ta règle graduée

c'est le module de z

le module de z² sera le carré de ce que tu as mesuré

[mamanmel]

Mais doit on garder les i? On doit vraiment tout développer? Ou juste trouver un nombre?

[Huppasacee]

tout développer

on aura des termes sans i ( partie réelle ) et des termes avec i ( partie imaginaire )

se souvenir que

i² = -1

donc , dès qu'on a i², on peut le remplacer par (-1)

donc , prenons un exemple

si tu as


c'est égal à
* (-1)

donc




ceci , bien sûr, lorsque tu calcules z²

lorsque tu rechercheras le module, c'est vrai que tu n'auras qu'un nombre ( pas de i)

[mamanmel]

Je ne dois vraiment pas être douée. J'ai tout développé et je trouve au final 16i carré donc -16. Mais ça ne correspond pas du tout à ce que tu m'as expliqué.

[Huppasacee]

alors faisons les calculs ensemble

donne


= =
j'ai utilisé la première identité remarquable pour ce carré

poste les différents résultats que tu trouves , et non pas le résultat final uniquement

[mamanmel]

Je veux bien tout développer mais je ne sais pas comment faire les racines carrées et les puissances. Et tout écrire en lettre ne serait pas très compréhensible.

[mamanmel]

Si je développe les 4 multiplications je trouve:
1)8 + 4 racine de 3
2)4i
3)4i
4)8icarré - 4racine de 3 fois i carré

[Huppasacee]

alors pour écrire



tu écris \sqrt{6}

sqrt veut dire en anglais "square root", soit racine carrée

la barre oblique inversée et les accolades sont impératives
ensuite tu sélectionnes \sqrt{6} puis tu cliques sur "TEX " en haut à droite

tu auras une formule en Latex

doit être écrit x^3 avant d'être traduit en Latexpareil pour le carré x^2 . Latex ne reconnaît pas la touche en haut à gauche du clavier qui nous donne d'habitude x²


tu peux prévisualiser ton message ( tu as le bouton à droite de "envoyer le message" )

[tigre]

soit z=a+ib

donc
essayer vous trouver quoi
ok
pour le module soit z=a+ib
module



ainsi vous trouverais

[mamanmel]

Ok, merci bcp. J'ai fait du copier coller parce que j'ai un clavier suisse (qwertz) et le signe oblique inversé n'y est pas.
Donc je trouve:
( \sqrt{6} + \sqrt{2} )^2= 6 + 4 \sqrt{3} +2 = 8 + 4 \sqrt{3}

[mamanmel]

Apparemment je me suis trompée. Houlala, pas beau toutes ces formules.

[Huppasacee]

et tu as obtenu

1)8 + 4 racine de 3
2)4i
3)4i
4)8icarré - 4racine de 3 fois i carré

nous allons voir tout ça :

le 1) a été vu précédemment OK
le 2 OK ainsi que le 3)

le 4) OK , mais tu n'as pas transformé le i² donc (-1)

cela nous donnera donc pour le 4) : -8 +4racine (3)

Reste à additionner tout ça !

[Huppasacee]

Ok, merci bcp. J'ai fait du copier coller parce que j'ai un clavier suisse (qwertz) et le signe oblique inversé n'y est pas.
Donc je trouve:
( \sqrt{6} + \sqrt{2} )^2= 6 + 4 \sqrt{3} +2 = 8 + 4 \sqrt{3}

comment ça , pas belle ta formule ?

il restait à tout sélectionner , puis cliquer sur TEX




le backslash figure sur notre clavier en appuyant simultanément sur AltGr et la touche 8 en haut du clavier

[mamanmel]

Ah oui, excuse moi j'avais oublié ça.
Donc en annulant ce qui s'annule et en additionnant ce qui s'aditionne on trouve: 8racine de 3 + 8i = 8(racine de 3 + i)
Voilà c'est déjà plus beau à voir. C'est juste au moins? Et c'est donc ce que vaut z^2?


(Merci bcp pour l'aide précieuse et la patience)

[tigre]

ok alors vous avec parvenus à quoi
pour les code http://maths-forum.com/showthread.php?t=70548
fait comme moi du copier coller