Bonjour,
Je suis en première année de MPSI et notre prof de maths nous a donné une feuille dexercices à faire. Cependant, il y a un exercice que je ne parviens pas à résoudre, et qui est le suivant :Partie I : Soit (Un), n appartenant à N, une suite bornée de réels. Posons, pour p appartenant à N :
Ap = {Un | n
p}, Vp = inf Ap et Wp = sup Ap
a- Faire létude de la monotonie des deux suites (Vp) et (Wp).
b- Montrer que (Vp) et (Wp) sont convergentes, et comparer leurs limites respectives li et ls
(li étant la limite inférieure de (Un), et ls étant sa limite supérieure).
c- Puis montrer avec le minimum de calculs que dans le cas où li = ls, alors (Un) est convergente de même limite l = li = ls.
d- Supposons ici que si (Un) est convergente de limite l, et soit e>0. Montrer que :
l e
li
ls
l +e
Puis déduire que l = li = ls.
Partie II : Supposons que (Un) est une suite de Cauchy, ce qui signifie que :
Pour tout e>0, il existe un n0 appartenant à N, tel que pour tout (n,p) appartenant à N², (n
n0 et p
n0) implique que |Un Up| < e.
a- Etablir que la suite (Un) est bornée.
b- Puis montrer que (Un) est une suite convergente, en reprenant la notation des questions précédentes et en établissant que li = ls.
En fait, je narrive déjà pas à démarrer, donc si quelquun pouvait maider, ce serait vraiment très gentil de sa part. Merci davance !