Convergence simple et uniforme.....

[mostdu95]

bonjour
fn est une fonction definie sur R qui converge uniformement vers une fonction f
soit g une fonction definie sur R qui n'est pas continue
g(fn(x)) converge t-elle simplement ?SINON TROUVER UN CONTRE EXEMPLE
bah en fait je pense qu'il n'ya pas de vonvergence simple parce que la fonction g n'est pas uniforment convergent mais j'arrive pas a trouver un contre exemple sachant qu'il faut d'abord touver une fonction qui n'est pas continue bla bla.......
et merci

[ThSQ]

g(f(x)) converge t-elle simplement

la fonction g n'est pas uniforment convergent

C'est pas super clair ton truc ....

[Purrace]

Pour que g(fn(x) converge vers g(f(x)) , il me semble qu'il te faut au minimum g uniformément continue ou continue sur un segment.

[ThSQ]

Pour que g(fn(x) converge vers g(f(x)) , il me semble qu'il te faut au minimum g uniformément continue ou continue sur un segment.

Mmm, je dirais plutôt il suffit de g soit continue.

On peut construire des exemples super bidons style :




g est C° nulle part pourtant g ° f_n est convergente.

[mostdu95]

Mmm, je dirais plutôt il suffit de g soit continue.

On peut construire des exemples super bidons style :




g est C° nulle part pourtant g ° f_n est convergente.

je m'excuse en fait c'etait g(fn(x))
mais par contre j'ai pas compris ta phrase là ...tu veux dire g est C° et nulle part pourtant g ° f_n est convergente ou g est C° nulle part et pourtant g ° f_n est convergente
?,
et 1Q veut dire quoi?

[Antho07]

je m'excuse en fait c'etait g(fn(x))
mais par contre j'ai pas compris ta phrase là ...tu veux dire g est C° et nulle part pourtant g ° f_n est convergente ou g est C° nulle part et pourtant g ° f_n est convergente
?,
et 1Q veut dire quoi?

Il veut dire que g est continue nulle part et pourtant (g°f_n(x)) converge.

est la fonction indicatrice de Q (les rationnels)

si x est dans Q, 0 sinon



On peut montrer que cette fonction est discontinue en tout point.
En effet elle prend uniquement 2 valeurs 0 ou 1.
Par l'absurde si elle etait continue en 1 point, alors elle serait continue sur un point où elle prend la valeur 0 par exemple.

Notons a ce point de continuite, alors 1Q(a)=0 et donc par continuité en a , elle prendrait 0 sur un petit intervalle autour de a.
Impossible puisque dans chaque intervalle de R (non reduit à un singleton) se trouve un rationnel.

Idem si elle vaut 1 en un point de continuité alors comme chaque intervalle de R contient un irrationnel....

[mostdu95]

non non je suis pas convaincu je suis plutot avec purrace je pense qu'il suffit qu'elle soit continue et il faut pas oublier que je prend des fonctions definies sur R
et pour le contre exemple il faut prendre g definie sur R et j'ai pas reussi a le trouver

[Antho07]

non non je suis pas convaincu je suis plutot avec purrace je pense qu'il suffit qu'elle soit continue et il faut pas oublier que je prend des fonctions definies sur R
et pour le contre exemple il faut prendre g definie sur R et j'ai pas reussi a le trouver

l'indicatrice des rationnels est defini sur R.
elle prend 0 sur R\Q et 1 sur Q

Et on a bien

[mostdu95]

ok
meme si j'ai pas tres bien compris votre demo ..peut etre parce que g pas encore vu cette indicatrice là :hein: donc vous voulez dire que meme si g est discontinue g(fn(x)) est toujours convergente (parce que a mon avis pour le cas general il faut que g converge uniformement ) et si g etait continue a t-on toujours la convergence de g(fn(x))?,

[mostdu95]

Pour que g(fn(x) converge vers g(f(x)) , il me semble qu'il te faut au minimum g uniformément continue ou continue sur un segment.

comment tu montre que si g est continue alors g(f(x)) converge simplement sur R

[leon1789]

bonjour
fn est une fonction definie sur R qui converge uniformément vers une fonction f
soit g une fonction definie sur R qui n'est pas continue
g(fn(x)) converge t-elle simplement ?SINON TROUVER UN CONTRE EXEMPLE
bah en fait je pense qu'il n'ya pas de vonvergence simple parce que la fonction g n'est pas uniforment convergent mais j'arrive pas a trouver un contre exemple sachant qu'il faut d'abord touver une fonction qui n'est pas continue bla bla.......
et merci

Mais g est une fonction ! Cela veut rien dire qu'elle convergente ou pas :hein: :hein: