Influence de la masse sur la chute d'un corps

[bidoudubuis]

bonjours,
j'ai un DM sur l'influence de la masse sur la chute d'un corps

a) Ecrire l'équation différentielle donnant la vitesse v du corps en y faisant figurer comme seules constantes vlim et g. Quelle est la caractéristique de cette équation ?

j'ai comme équation diférentielle dv+(g/vlim)*v²=g
mais je ne sais sa caractéristique.

b) L'intégrer directement après avoir séparé les variables et exprimer la vitesse v(t) sous la forme
v(t)=vlim*th(t/T)
T est le temps caractérisique

je ne vois pas du tout comment faire
le probleme entier est à cette adresse :
http://pagesperso-orange.fr/olivier.granier/meca/ex_og/ministre.PDF

[Dominique Lefebvre]

bonjours,
j'ai un DM sur l'influence de la masse sur la chute d'un corps

a) Ecrire l'équation différentielle donnant la vitesse v du corps en y faisant figurer comme seules constantes vlim et g. Quelle est la caractéristique de cette équation ?

j'ai comme équation diférentielle dv+(g/vlim)*v²=g
mais je ne sais sa caractéristique.

Bonjour,
Ton EDO est bien de cette forme mais l'as-tu établie toi-même? Essaye de la faire en appliquant la seconde loi de Newton.

b) L'intégrer directement après avoir séparé les variables et exprimer la vitesse v(t) sous la forme
v(t)=vlim*th(t/T)
T est le temps caractérisique

je ne vois pas du tout comment faire
le probleme entier est à cette adresse :
[url="http://pagesperso-orange.fr/olivier.granier/meca/ex_og/ministre.PDF"]http://pagesperso-orange.fr/olivier.granier/meca/ex_og/ministre.PDF[/url]

Après que tu auras établi cette EDO, sais-tu intégrer une EDO de ce genre en séparant les variables? Ou bien ton problème est-il autre part?

[bidoudubuis]

je l'ai bien établie à l'aide de la 2 loi de newton
mais je ne sais pas sa caractéristique et ce qui me pose probleme c'est le carré ainsi que le fait de "séparer les variables"
merci de ton aide

[Dominique Lefebvre]

je l'ai bien établie à l'aide de la 2 loi de newton
mais je ne sais pas sa caractéristique et ce qui me pose probleme c'est le carré ainsi que le fait de "séparer les variables"
merci de ton aide

J'ai quelques doutes quand même...
D'abord dans ton titre: il s'agit de l'influence des frottements (fluides en l'occurence) sans doute. Parce que l'influence de la masse sur la chute d'un corps...

Ensuite, je suis très étonné de voir apparaître un coeff noté vlim (pour vitesse limite j'imagine) dans ton EDO. On devrait plutôt y trouver le coefficient de frottement...

Donc, il me semble utile que tu précises ici comment tu l'as établie!

[bidoudubuis]

Êtes vous allé voir le problème entier(cf : lien)?
ainsi il nous demande, après avoir exprimé vlim=(mg/0.5CxRS)^1/2

dans l'EDO suivante :
-0.5CxRSv²+mg=ma
on obtient L'EDO que je vous ai donnée dont je ne trouve pas la caractéristique et je ne sais pas l'intégrer en séparant les variables.

merci

[Dominique Lefebvre]

Êtes vous allé voir le problème entier(cf : lien)?
ainsi il nous demande, après avoir exprimé vlim=(mg/0.5CxRS)^1/2

dans l'EDO suivante :
-0.5CxRSv²+mg=ma
on obtient L'EDO que je vous ai donnée dont je ne trouve pas la caractéristique et je ne sais pas l'intégrer en séparant les variables.

merci

Oui bien sur! moi je te demande comment tu as établi ton EDO..
Je ne vois pas de définition de référentiel, curieux dans un problème de méca! Comment définis-tu les signes que tu utilises dans tes projections?
Puis tu écris une EDO avec des accélarations, alors que l'EDO recherchée porte sur des vitesses...
Si j'appelle classiquement k le coefficient de frottement, en choisissant un référentiel Oz orienté ver le bas je peux écrire:
m*dv/dt = mg - kv² ou encore dv/dt = g - (k/m)v² ou encore pour donner une forme générale y' = a + b*y

Tu es en TS sans doute et donc tu as du voir son intégration en math, non?

[Dominique Lefebvre]

je ne trouve pas la caractéristique et je ne sais pas l'intégrer en séparant les variables.

merci

Comme il s'agit d'une équation de premier ordre en y', il n'y a pas lieu d'étudier d'équation caractéristique ici. Je présume donc que ton énoncé veut parler de courbe caractéristique. D'après toi, quelle est la forme de la courbe de v(t)? Elle présente une caractéristique particulière, une asymptôte pour tout dire: laquelle?

PS : en relisant ton énoncé, je ne pesne pas qu'il te demande la tête de la courbe caractéristique...
Il te demande la caractéristique de l'EDO. A part dire qu'elle est à variables séparables... Mais cela me semble curieux dans un pb de physique de TS!

[bidoudubuis]

Excusez moi de pas avoir détailler mon raisonnement
je saurais résoudre cette équation s'il n'y avait pas le carré!
auquel cas les solution seraient de la forme :
v(t)=vlim²+Cexp(-g*t/vlim²)

mais que faire avec ce carré???

[Dominique Lefebvre]

Excusez moi de pas avoir détailler mon raisonnement
je saurais résoudre cette équation s'il n'y avait pas le carré!
auquel cas les solution seraient de la forme :
v(t)=vlim²+Cexp(-g*t/vlim²)

mais que faire avec ce carré???

C'est le carré sur le coeff qui te gêne ?
D'abord, comment s'écrit la solution générale de l'équation y' = a*y + b, quelque soit a et b ...
Puis ensuite la solution particulière?

[bidoudubuis]

je ne suis pas en TS mais en maths SUP, je suis donc encore moins excusable!!mais le problème c'est qu'on a pas vu ce qu'été une EDO à variable séparable
la forme générale des solution est C*exp(a*t)-b/a avec C cste réelle

ici une solution particulière est vlim

[Dominique Lefebvre]

je ne suis pas en TS mais en maths SUP, je suis donc encore moins excusable!!mais le problème c'est qu'on a pas vu ce qu'été une EDO à variable séparable
la forme générale des solution est C*exp(a*t)-b/a avec C cste réelle

ici une solution particulière est vlim

Oh excuse moi. Je me disais aussi que c'était un peu en dehors du programme de TS, mais si peu..
Ok pour la forme générale et particulière de la solution.

PS : si je lis bien ton énoncé, il veut une expression selon une fonction hyperbolique...

[bidoudubuis]

désolé pour le retard mais j'ai trouvé la solution si ça t'interesse je peux t'expliquer comment j'ai procédé même si je pense que tu n'a pas besoin de moi!!

effectivement le début est complétément dans le programme de TS mais ça n'est plus le cas à partir de cette question!!

Après il y une question avec des développements limités est-ce qu'on peut dire que 1+x²/2 = 1+x quand x<<1 ?

[Dominique Lefebvre]

désolé pour le retard mais j'ai trouvé la solution si ça t'interesse je peux t'expliquer comment j'ai procédé même si je pense que tu n'a pas besoin de moi!!

Oui, bien sur, ça m'intéresse...

effectivement le début est complétément dans le programme de TS mais ça n'est plus le cas à partir de cette question!!

Après il y une question avec des développements limités est-ce qu'on peut dire que 1+x²/2 = 1+x quand x<<1 ?

je n'ai pas vu de DL dans ton énoncé.. Et en particulier pas un DL de 1+x²/2 !
Tu connais la formule de Mac-Laurin?

[Black Jack]

j'ai comme équation diférentielle dv+(g/vlim)*v²=g

Cette équation n'est pas homogène et donc fausse.

Il me semble que tu aurais du avoir : dv/dt + (g/vlim²).v² = g

Les frottements étant proportionnels à v² indiquent que ce sont des frottements aérodynamiques et pas des frottements fluides (qui sont eux proportionnel à v), ceci est légitime pour la chute dans un fluide peu visqueux (ici de l'air) de corps de masse volumique assez grande. Dans de telles conditions, les frottements fluides sont très vite négligeables devant les frottements aérodynamiques.

:zen:

[Black Jack]

Oui bien sur! moi je te demande comment tu as établi ton EDO..
Je ne vois pas de définition de référentiel, curieux dans un problème de méca! Comment définis-tu les signes que tu utilises dans tes projections?
Puis tu écris une EDO avec des accélarations, alors que l'EDO recherchée porte sur des vitesses...
Si j'appelle classiquement k le coefficient de frottement, en choisissant un référentiel Oz orienté ver le bas je peux écrire:
m*dv/dt = mg - kv² ou encore dv/dt = g - (k/m)v² ou encore pour donner une forme générale y' = a + b*y

Tu es en TS sans doute et donc tu as du voir son intégration en math, non?

A la fin, j'aurais plutôt écrit:
m*dv/dt = mg - kv² ou encore dv/dt = g - (k/m)v² ou encore pour donner une forme générale y' = a + b*y²

Ce petit détail complique la résolution.

:zen:

[Black Jack]

La solution que j'ai trouvée pour l'équation dv/dt + (g/vlim²).v² = g avec comme condution initiale v(0) = 0 est :



Si ta réponse n'est pas celle-là, au moins un de nous deux s'est trompé.

:zen: