Equation différentielle.

[bigbob]

Bonjour, voila mon equadiff: (x²-1)y"+2xy'-2y=0
Je dois trouver l'ensemble des polynomes solutions de cette equation et ensuite plus particulièrement celui tel que P(1)=1.

Merci de m'éclairer parce que cela fait un moment que je retourne les solutions dans tous les sens et no results...

PS: je n'ai pas le droit de me servir à cette question du remplacement: z=y/x, c'est l'objet de la question suivante.

[emdro]

Bonjour,

commence par chercher le degré du polynôme en disant que son monôme dominant est avec
En écrivant que le polynôme satisfait à ton équation différentielle, tu obtiendras facilement une petite équation te donnant son degré.

[bigbob]

Tout d'abord merci de m'aider.
Je viens d'essayer de trouver le degré de ce polynome mais je bloque aussi, j'arrive facilement au fait que chaque terme de l'equadiff a le même degré, j'ai aussi essayer de remplacer par a(n)x^n+a(n-1)x^n-1+...+a(0) , en dérivant... mais je n'arrive a rien se simplifiant :mur: .

Merci d'avance

[emdro]

Quel est le terme de plus haut degré de (x²-1)y"+2xy'-2y=0?

[bigbob]

Si le polynome solution a un degré n alors le terme de plus haut degré est de degré n non?

J'ai peur de dire une bêtise...

[emdro]

Oui, mais quel est-il précisément? Quel est son coefficient?

[Pythales]

Il parait évident que est solution ...

[bigbob]

Son coefficient est a(n) mais je ne vois pas où vous voulez en venir, merci en tout cas.

PS: merci pour la solution evidente cependant je ne suis pas sur que ce soit le type de réponse que j'attend en postant sur ce forum...

[emdro]

Son coefficient est a(n)

Non, a(n) est le coefficient du monôme principal de P,
mais je voulais celui du monôme principal de (x²-1)P"+2xP'-2P...

[bigbob]

Désolé, en ayant simplement remplacé y par a(n)*x^n , j'arrive à (n²+n-2) comme coefficient pour x^n...

Merci de votre patience.

[emdro]

Oui c'est ça, avec un a(n) en facteur que tu as oublié.
Et donc si le polynôme est solution de l'équation différentielle, que peux tu dire (sachant que a(n) n'est pas nul).

[bigbob]

Je peux dire que n²-n-2=0 d'où n=1 ou n=-2 mais comme en ayant remplacé par a(n)*x^n, j'obtient ausi un second terme qui lui aussi doit etre nul :
(n²-n)*x^(n-2), je ne garde que la solution n=1 donc mon polynome solution est de degré 1 du type P(x)=ax+b .

Est-ce ça?

[emdro]

La conclusion est bonne, mais c'est surtout parce que le degré d'un polynôme est rarement égal à -2!
Donc maintenant que tu es certain que les seuls polynômes qui ont des chances d'être solution sont de degré 1, il reste à les examiner tous, en prenant P(x)=ax+b, et en cherchant à quelle condition il est effectivement solution.

[bigbob]

Juste pour être sur, je remplace en mettant y=ax+b et je cherche pour quels (a,b) l'equadiff est vérifiée.

Merci beacoup en tout cas.

[emdro]

Exactement, tu as tout compris. :happy2: