Bloque exercice barycentres 1ere S...

[bouhbouh]

Bonjour à toutes et à tous,

Je bloque dès la première question sur un exercice de première S sur les barycentres :


J'ai réussi à trouver le point d'intersection que j'ai appelé G pour les droites (CD) et (AE) en utilisant les égalités vectoriels de l'énoncé :
G = bary (A, -3) ( B, -1) (C,2) (D,1) (E,1)

(enfin c'est peut être faux)

Mais je n'arrive pas à introduire k quelque part pour faire une comparaison ou autre et trouver sa valeur !

Si vous auriez une piste pour m'aider à avancer !

Merci !

[bouhbouh]

Bon en fait en insistant j'ai fini par trouver une solution, peut être pas la plus rapide mais ça fonctionne...

AD = -2AB
A = bary (D,1) (B,2)
AD + 2AD + 2DB = 0
3AD - 2BD = 0
D = bary(A,3)(B,-2)

BE = -2BC
B = bary (E,1) (C,2)
BC + CE + 2BC = 0
3BC - EC = 0
C = bary (B,3) (E,-1)

BE + 2BE + 2EC = 0
3BE - 2CE = 0
E = bary (B,3) (C,-2)

G = bary (A,a)(E,e)
G = bary (D,a/3)(B,2a/3)(E,e)
G = bary (D,a/3)(E,2a/9)(C,4a/9)(E,e)
G = bary (D,a/3)(C,4a/9)(E,2a/9+e)
Or G = bary (C,c)(D,d) car G appartient à (CD)
Donc 2a/9 + e = 0
On pose a = 9 donc e = -2
G = bary (A,9)(E,-2)


G = bary (C,c)(D,d)
G = bary (B,3c/2)(E,-c/2)(D,d)
G = bary (B,3c/2)(E,-c/2)(A,3d)(B,-2d)
G = bary (B,3c/2-3d)(E,-c/2)(A,3d)
Or G = bary (A,a)(E,e) car G appartient à (AE)
Donc 3c/2-3d = 0
On pose c = 2 donc d = 1
G = bary (C,2)(D,1)


CF = kCA
C = bary (F,1) (A, -k)

CF - kCF - kFA = 0
(1-k)CF + kAF = 0
F = bary (C,1-k) (A, k)

G = bary (B,b)(F,f)
G = bary (E,b/3)(C,2b/3)(F,f)
G = bary (E,b/3)(C,2b/3)(C,f(1-k))(A,fk)
G = bary (A,fk)(E,b/3)(C,2b/3+f(1-k))
Or G = bary (A,a)(E,e) car G appartient à (AE)
Donc 2b/3+f(1-k) = 0

G = bary (A,fk)(E,b/3)(C,2b/3+f(1-k))
G = bary (D,fk/3)(B,2fk/3)(E,b/3)(C,2b/3+f(1-k))
G = bary (D,fk/3)(B,2fk/3)(B,b)(C,-2b/3)(C,2b/3+f(1-k))
G = bary (D,fk/3)(B,2fk/3+b)(C,f(1-k))
Or G = bary (C,c)(D,d) car G appartient à (CD)
Donc 2fk/3 + b = 0
On pose b = 3 donc :
2+f(1-k) = 0
2fk/3 + 3 = 0

2+f-kf = 0
2fk = -9

f=2/(k-1)
Donc 2k*2/(k-1) = -9 <=> 4k = -9k + 9 <=> k = 9/13

[Huppasacee]

Prends le repère A, AB, AC par exemple

écris l'équation des droites fixes CD et AE
trouve les coordonnées dans ce repère du point d'intersection de ces 2 droites
(par exemple H )
et H, B et F doivent être alignés

est ce plus court ?

[bouhbouh]

J'essaierais ce soir, c'est peut être plus cours à écrire...
Merci !

[crassus]

les positions des points D et E t'indiquent qu'ils sont barycentres

D de A;3 B;-2 et E de B;3 C;-2


Homogeneisons :

D de A;9 et B;-6 et E de B;-6 et C;4


Introduis alors naturellement G le barycentre de A9 B-6 C4 cEST TON POINT DE CONCOURANCE

car par associativité du barycentre


G BAR DE D3 C4 Donc G D C alignés

G BAR DE A9 E-2 donc G A E alignés


G BAR DE B-6 F13 Donc G B F alignés



F étant le barycentre partiel de A9 C4 ...

AINSI CF=9/13 CA

[crassus]

pour B a) elles passent toutes par un point fixe ...

introduire naturellement un barycentre de deux points



pour B c) Elles sont toutes de même direction , utilise chasles dans le second membre ...

[bouhbouh]

Finalement c'est bon j'ai tout compris, merci !