Petit problème de dérivée

[Chrisman]

Bonsoir, j'ai donc comme indiqué au titre un problème sur les dérivées.

En effet dans mon devoir j'ai une fonction f(x):

f(x) = 3 / (x-1)²

Il nous demande tout d'abord de calculer f' et f'' puis f'''.
En effet j'ai calculé f', f'' et f''':

f'(x)= -6 / (x-1)^3
f''(x)= 18 / (x-1)^4
f'''(x)= -72 / (x-1)^5

Il nous demande donc de conjecturer l'expression de la dérivée n-ième.

Je trouve donc juste la relation au dénominateur mais pas au numérateur :s

f n-ième : ? / (x-1)^n+2

Donc ainsi il nous demande de démontrer le résultat obtenu par récurrence.
Je bloque donc à ce point, serait-il possible de m'éclaircir un peu?

[Monsieur23]

Aloha ;

Chaque fois que tu dérives, tu multiplies le nombre du dénominateur par -((ordre de dérivation) + 1)

[Chrisman]

Ordre de dérivation?? c'est à dire?

[Monsieur23]

Oui, c'était pas très clair.

En fait, si le nombre au numérateur de la dérivée n-ième est A, alors le nombre au numérateur de la dérivée n+1-ième sera -(n+2)A

[Chrisman]

D'accord merci !

[Chrisman]

Mais le problème maintenant c'est comment montrer tout celà par récurrence? J'ai essayé de procéder par l'initialisation, mais ça m'a l'air très compliqué. Car la dérivée avant f' est bien la fonction n'est ce pas?

[Chrisman]

J'ai essayé de détailler l'évolution de la dérivée selon le nombre de fois qu'elle est dérivée, et j'ai ça au numérateur:



J'ai l'impression que ça a un rapport avec la factorielle

[Monsieur23]

Pour la récurrence, tu dois d'abord savoir ce que tu dois montrer exactement.

Donc effectivement, ça a un rapport avec la factorielle.
Et on voit clairement qu'on a un (-1)^n aussi.

que penses-tu de (-1)^n * 3 * (n+1)! au numérateur pour la dérivée n-ième ?