Suites adjacentes

[bart22]

Bonjour,

Soit la suite Hn= 1 + 1/2 +1/3+... +1/n.

Dans les questions précédentes on a démontré que Hn est équivalent à ln(n)

On me demande de montrer que les suites Un et Vn sont adjacentes.

Avec:

Un= Hn -ln(n)

Vn= Un-(1/n)

J'ai d'abord calculé:
Un+1 - Un = (1/n+1) - ln(n+1) + ln(n) mais je ne sais pas si c'est positif ou non?

Vn+1 - Vn= 1/n -ln(n+1) + ln(n) pareil, je ne sais pas si c'est positif ou non?

Une aide serait la bienvenue. Merci d'avance.

[acoustica]

Avec des intégrales. Utilise la décroissance de 1/x et encadre ça de deux intégrales. Tu sommes, et tu utilise Chasles. Tu trouve une primitive de 1/x (ça devrais aller ce passage). L'équivalence apparaît ensuite. :happy2:

[bart22]

Je trouve un encadrement:

1/k< ln(k)-ln(k-1) <1/(k-1)

mais je n'arrive pas à conclure sur le signe?

[acoustica]

Je trouve un encadrement:

1/k< ln(k)-ln(k-1) <1/(k-1)

mais je n'arrive pas à conclure sur le signe?

T'occupe pas du signe pour l'instant.


Tu arriveras à:

Hn-1<ln(n)<Hn-1/n

[acoustica]

Ton exercice est tourné différemment, mis bon, yaka adapter après.

[miikou]

Je trouve un encadrement:

1/k< ln(k)-ln(k-1) <1/(k-1)

mais je n'arrive pas à conclure sur le signe?

c'est exactement ca ! continue :lol4:

[bart22]

Oui, j'ai trouvé

ln(n) + 1/n < Hn < 1 +ln(n)

mais après je ne vois toujours pas comment avancer plus?

[Purrace]

Divise par lnn et tu en deduira un equivalent!!!!!!!!!!

[bart22]

D'accord donc j'ai Hn qui est équivalent à ln(n)

Est-ce que je peux dire que:

Un=0 et Vn= -1/n?

[Purrace]

Non , tu peux juste dire qu'au voisinage de +inf , Hn=ln(n)+gamma+o(1) où gamma est la constante d'euler-Ma... m'en rappelle plus et donc Un=gamma+o(1) en +inf.

[bart22]

Mais comment on fait alors pour en déduire le signe de Un+1 - Un et Vn+1 -Vn ?

[Purrace]

Utilise 1/(n+1)<=ln(1+1/n)<=1/n

[bart22]

Merci beaucoup!! J'ai retrouvé les résultats attendu!

J'ai encore une dernière question:

Pourquoi on peut écrire que:

Hn= ln(n)+gamma+ o(1) ?

[emdro]

Bonsoir,

ta suite (Un) ne serait-elle pas convergente, par hasard?

[Purrace]

J'ai encore une dernière question:

Pourquoi on peut écrire que:

Hn= ln(n)+gamma+ o(1) ?

Montre que Hn -ln tend vers une limite finie qui est noté gamma!

[Purrace]

Bonsoir,

ta suite (Un) ne serait-elle pas convergente, par hasard?

Ouia Un et Vn sont des suitesa adjacentes qui tendent vers gamma.

[emdro]

Ouia Un et Vn sont des suitesa adjacentes qui tendent vers gamma.

CQFD! :happy2: