Intégrales-Intégrations par parties

[Dimitri22]

Bonjour,
je bloque à une question de mon DM:

Avec une intégration par parties soigneusement justifiée, montrez que K(x)-3L(x) est négligeable devant (e^(x))/(x²) lorsque x tend vers +infini.

Avec K(x) est l'intégrale de 1 à x de ((e^(t))/(t^3))dt
L(x) est l'intégrale de 1 à x de ((e^(t))/(t^4))dt

Je sais que par exemple f est négligeable devant g au voisinage de +infini si lim (f(x)/g(x))=0 quand x tend vers +infini.
Est-ce que je dois utiliser ceci? Parce qu'on ne connait pas l'expression des fonctions L et K. Et quelle intégraion par partie puis-je utiliser?

[tize]

Bonjour,
pose l'IPP avec et , tu peux ensuite écrire K(x) en fonction d'un terme en x et de 3L(x), après reste à faire ce que tu as écris dans ton message : montrer que le quotient tend vers 0...

[Dimitri22]

merci beaucoup :)

[Dimitri22]

Ok donc je viens de montrer que K(x)-3L(x) est négligable devant (e^(x))/(x²) quand x tend vers +infini.
Mais comment je peux montrer que L(x) est négligeable devant (e^(x))/(x²) lorsque x tend vers +infini?
Je ne vois pas trop s'il faut s'aider de la réponde précédente ou pas.

[Dimitri22]

Personne n'a une petite piste?

[miikou]

et bien elle f est negligable devant g si f/g -> 0

donc ln(x) / ( e^x / x² ) = x²*ln(x)*e^-x -> 0 ?
<=> e^( 2ln(x) - x)*ln(x) -> 0 ?
or ln(x) < x
donc 2ln(x) - x < ln(x)
par croissance de exp on a e^( 2ln(x) - x)*ln(x) < e^(lnx))*ln(x) = ln(x)/x qui tend bien vers 0 par croissance comparée, on conclus avec le th des gendarmes ;)

[Dimitri22]

Pourquoi tu as pris lnx?
L(x) c'est pas ln(x) ^^ c'est une intégrale

L(x) est l'intégrale de 1 à x de ((e^(t))/(t^4))dt

[tize]

Salut,
tu peux étudier la fonction , elle est continue sur , strictement croissante à partir d'un certain point et tend vers , on peut donc dire qu'il existe tq dès que et donc :
dès que , reste à diviser par pour obtenir ce que tu cherches.

[miikou]

Pourquoi tu as pris lnx?
L(x) c'est pas ln(x) ^^ c'est une intégrale

L(x) est l'intégrale de 1 à x de ((e^(t))/(t^4))dt

mdr c'est leffet lendemain de boite ( comprend de cuite :p )

[Dimitri22]

Merci beaucoup!

[tize]

De rien :we: mais le travail n'est pas fini, il y a des choses à éclaircir un peu, comme l'existence de cette constante C...