Equation X²=-1[n]

[bidoudubuis]

bonjour j ai un probleme sur ces questions

pour tout entier n =>2 on note (En) l equation x^2=-1 mod n
soit p un nombre premier et n=p^k k dans N*

on suppose que p= 1 mod 4
on sait que (Ep) possede une soltuion (je l ai demontrer precedement). On va montrer qu il en est de meme pour n=p^k .On suppose qu il existe x tel que x^2=-1 mod p^k
on cherche donc a montrer qu il existe y tel que y^2=-1 mod p^(k+1)
1a) expliquer pourquoi il est raisonnable de poser y=x+u*p^k avec u dans Z

1b) soit v tel que x^2=-1+vp^k. Montrer que pour que y convienne, il suffit de prendre u tel que 2*u*x=-v mod p

1c) Montrer qu il existe bien y tel que y^2=-1 mod p^(k+1)

quelqun pourrait-il m'aider surtout pour la b et c?

[leon1789]

Que ne comprends-tu pas dans le b) ?

[Imod]

Pour 1b) il faut calculer y²=(x+up^k)² et 1c) application directe du 1b) .

Imod

[bidoudubuis]

merci
pour le b) j'avais oublié le x dans le double produit!! :stupid_in
pour le c il faut partir en disant: si je prend u tel que dans le b) alor je peux trouver y tel que y²=-1[p^k+1] ?