Etude d'une fonction exponentielle

[Donsalustre]

Bonjour, donc voila mon problème, j'ai une fonction a étudier mais il y a un moment ou je ne sais pas quoi dire pour justifier ce que je fais:

f(x) = 1 + e^(-x) -2e^(-2x)

1. Résoudre f(x) >= 0

Je simplifie l'expression et j'arrive a:

[ e^(2x) + e^(x) - 2 ] / [ e^(2x) ] >= 0

je résous donc l'inéquation par un changement de variable:

e^(2x) + e^(x) - 2 >= 0

J'ai donc X² + X - 2 >= 0

je trouve comme solutions X = -2 et X = 1

J'ai donc e^(x) >= -2 --> pas possible une exp est toujours positive

et e^(x) >= 1 <=> x >= 0

Mais voila mon probleme c'est pour le tableau de signe après. Comment je peux justifier que sur l'intervalle
]- inf, 0] e^(2x) + e^(x) - 2 >= 0 est toujours négative alors que X² + X - 2 est positive sur l'intervalle ]- inf, -2]U[1 , + inf[ et négative sur ]-2, 1 [ ?

Merci.

[Sa Majesté]

Mais voila mon probleme c'est pour le tableau de signe après. Comment je peux justifier que sur l'intervalle
]- inf, 0] e^(2x) + e^(x) - 2 >= 0 est toujours négative alors que X² + X - 2 est positive sur l'intervalle ]- inf, -2]U[1 , + inf[ et négative sur ]-2, 1 [ ?

Merci.

Il n'y a pas de contradiction
Tu as posé X=e^(x)
Ceci n'est possible que si X>0

En fait tu as montré que
e^(2x) + e^(x) - 2 = (e^(x) - 1) (e^(x) + 2)
et f(x) = (e^(x) - 1) (e^(x) + 2) / e^(2x)

Pour tout x réel
e^(x) + 2 > 0
e^(2x) > 0
donc f(x) est du signe de e^(x) - 1 :happy2:

[Donsalustre]

D'accord merci ! Ca me parait beaucoup plus clair ! ^^

[Donsalustre]

Bonjour, c'est encore moi, je suis bloqué sur un autre exercice qui concerne l'étude d'une famille de fonctions exponentielles:

Pour tout entier relatif k, on note fk la fontion définie sur R par:

fk(x) = (x + 1)e^(kx)

a) Quelle est la nature de la fonction f0 ?

Il s'agit d'une droite

b) Déterminez les points d'intersection des courbes C0 et C1

Je résous donc l'equation:

(x + 1)e^(x) = x + 1
Je trouve x = 0

je calcule f(0) et je trouve 1

Donc le point d'intersection c'est le point de coordonnées (0, 1)

2. Etudiez suivant les valeurs de x, le signe de l'expression, (x + 1)(e^(x) - 1)
En déduire pour k, entier relatif donné, les positions relatives des courbes Ck et Ck+1

J'étudie le signe de cette expression et je trouve que:

(x + 1)(e^(x) - 1) est positif sur ]- infini, -1]
négatif sur [-1, 0]
positif sur [0, + infini[

Le probleme c'est que ne comprend pas comment a partir de ca on peut aboutir a la position relative des deux courbes.

Quelqu'un peut m'aider svp ? Merci.