Développement de Laurent

[Stu2005]

Voici l'exo:
soit la fonction f(z)=-1/((z-1)*(z-2)) analytique dans C/{1,2}. On demande de calculer son développement de Laurent dans 1<|z|<2.

La réponse obtenue par le prof est la suivante:
f(z) = (1/(z*(1-1/z))) - (1/2)*(1/(1-z/2))

donc f(z) = (1/z)*[1+(1/z)+((1/z)^2)+...]+(1/2)*[1+(z/2)+((z/2)^2)+...]

Mon probléme réside dans le fait que je ne vois pas pourquoi le prof change sa fonction f(z) avant de la dévellopper et pourquoi la met il sous cette forme et pas sous une autre forme?

Merci d'avance

[Pythales]

Il s'agit de développer la fonction dans une zone limitée par les circonférences de rayon 1 et 2 (bornes exclues).
Le développement de 1/(1-u) ne converge que si le module de u est <1.
En mettant f(z) sous cette forme, on voit que, dans la couronne, les modules de 1/z et de z/2 sont tous deux <1.