Continuité par morceaux => Continuité ??

[Alpha]

Pour yos,

dans mon esprit, j'ai confondu les 2 définitions, puisqu'elles sont complètement équivalentes ( l'image réciproque de tout ouvert par f est un ouvert <=> f est continue en tout point (déf avec epsilon)).

Alpha+

[sept-épées]

Ca fait un bout de temps qu'on a une bonne définition de la continuité d'une fonction (sur R ou sur un espace métrique, le cadre le plus général étant celui des espaces topologiques). Certains des messages postés sur cette question peuvent donc sembler naïfs, mais après tout la question est saine...

La vraie question philosophique, en la matière, est peut-être le "problème du continu", à savoir celle de la construction de l'ensemble des réels. Tiens, on reparle un peu de Brouwer, depuis un moment, chez les informaticiens notemment...pour ma part, je ne comprends pas grand-chose à l'intuitionnisme, mais c'est assurément une tentative extrêmement intéressante...ceux qui connaissent en diront davantage.

[quinto]

Pour yos,

dans mon esprit, j'ai confondu les 2 définitions, puisqu'elles sont complètement équivalentes ( l'image réciproque de tout ouvert par f est un ouvert f est continue en tout point (déf avec epsilon)).

Non elles ne sont pas équivalentes puisque dans un espace topologique la définition avec les epsilon n'a pas de sens.
Elle pourrait être équivalente à la définition de la continuité séquentielle, qui n'est pas équivalente à la continuité.
A+

[Wutang]

On ne peut en effet tomber dans la confusion.
Il est facile de parler de continuite, ou de limites, pour des applications E->F quand on a defini la distance entre les points de E et la distance entre les points de F, id est si E et F sont des espaces metriques. :++:

Le probleme, mis en evidence par l'analyse, c'est qu'il arrive que l'on dispose d'applications R(p) qui sont a considerer comme continues, alors qu'il n'existe aucune metrique sur E qui les rende continues...

Il faut donc se donner un autre moyen, autre que la distance, pour savoir si 2 elements a et b de E, sont voisins.

C'est la qu'est introduite la notion de voisinage : pour dire comment b est voisin de a, on va dire dans quel voisinage de b il est trouve :++:

Quand on a ainsi defini de b dans E, on dira que E est un espace topologique.
E, F, etant des espaces topologiques, f application de E->F, alors f est continue en b de E si :
Pour tout voisinage V de f(a) dans F, il existe au moins un voisinage V' de b dans E / pour tout b de V', f(b) est dans V.

Frechet ira plus loin que Cauchy dans cette definition du continu a la llimite, en parlant de ces espaces metriques. C'est Hausdorff qui parlera des espaces topologiques.
De Frechet a Hausdorff , le continu se definit a partir du concept de voisinage, laquelle est une evolution abstraite des notions de proximite, ecart, rapprochement, etc. C'est avec Stefan Banach qu'on arrive aux "normes", mais n'est-ce pas un autre mot pour designer une distance...

Tout allait bien avant Godel et son celebre theoreme. Toute propositon vraie n'est pas prouvable. On peut donc arriver a montrer une proposition et son contraire, et de fait ne ps trouver la veracite sous-tendue...
C'est en plus l'epoque des relations d'incertitude de Heisenberg. Mais incertitude n'est pas ignorance. Puis on passe au Nicolas Bourbaki, puis a von Neumann et a Leo Szilard dont j'ai fait mon avatar.
Mais alors est arrive apres Cantor, Cohen qui a demontre que l'hypothese du continu est indecidable. Impossible de savoir s'il existe un ensemble dont le nombre d'elements soit superieur au denombrable, mais inferieur au continu. On reste indecis sur l'eventualite d'un infini intermediaire entre la puissance du denombrable et la puissance du continu. Voila qui eclaire grandement notre sujet :++:

On est bien !
:jap:

[Alpha]

Non elles ne sont pas équivalentes puisque dans un espace topologique la définition avec les epsilon n'a pas de sens.
Elle pourrait être équivalente à la définition de la continuité séquentielle, qui n'est pas équivalente à la continuité.
A+

Effectivement, je ne connais pas encore la notion d'espace topologique, mais seulement celle d'espace métrique. Ce que je voulais dire dans mon premier message, c'était que même si on pouvait donner une définition intuitive à la notion de continuité, elle n'était pas très manipulable pour faire des démonstrations rigoureuses, et que par conséquent il fallait prendre une vraie définition (une définition rigoureuse donc).

Cordialement, Alpha

[quinto]

elle n'était pas très manipulable pour faire des démonstrations rigoureuses, et que par conséquent il fallait prendre une vraie définition (une définition rigoureuse donc).

Salut,
je ne comprend.
Quelle définition n'est pas rigoureuse? (ou qui a démontré quelque chose de non rigoureux?)
Comme je n'ai pas lu tous les messages dans leur intégralité j'ai peut être laissé passer certains trucs.
A+

[Wutang]

Rien ne sert de disserter philosophie, passons a une application pratique :++:
Voici un exercice sur la continuite d'une fonction.

Soit f fonction definie sur ]0,+infini[ telle que :
* f(x)=0 si x rationnel
* f(x)=1/(p+q) si x=p/q rationnel irreductible.
Montrons qu'en tout point Xo (Xo>0), f admet une limite.
f est-elle continu en Xo ?

Faites a votre convenance, mais exprimez votre solution...
:jap:

[rene38]

Rien ne sert de disserter philosophie, passons a une application pratique :++:
Voici un exercice sur la continuite d'une fonction.

Soit f fonction definie sur ]0,+infini[ telle que :
* f(x)=0 si x rationnel
* f(x)=1/(p+q) si x=p/q rationnel irreductible.
Montrons qu'en tout point Xo (Xo>0), f admet une limite.
f est-elle continu en Xo ?

Faites a votre convenance, mais exprimez votre solution...
:jap:

si x=p/q rationnel irreductible alors x rationnel donc f(x)=0 ...
Il doit manquer Ir quelque part.

[Zebulon]

Bonjour,
après nous avoir donné ces explications et ces définitions, je ne comprends toujours pas le problème que vous vouliez soulever (à part comment étendre la continuité définie dans un espace métrique à la continuité, plus générale et plus abstraite, dans un espace topologique). Peu importe, au moins Alpha sait maintenant ce que c'est :happy2: !
Pour votre application pratique, quelle valeur associez-vous aux irrationnels?
Merci,
Zeb.

[Wutang]

Pour votre application pratique, quelle valeur associez-vous aux irrationnels ?

Pardon, une petite erreur d'orthographe et le probleme n'a plus aucun sens...
Sniff !
Il faut lire :


Soit f fonction definie sur ]0,+infini[ telle que :
* f(x)=0 si x irrationnel
* f(x)=1/(p+q) si x=p/q rationnel irreductible.
Montrons qu'en tout point Xo (Xo>0), f admet une limite.
f est-elle continu en Xo ?

Evidemment, sinon, le probleme est absurde.
Merci encore pour cette remarque pertinente :++:
Cette fois, on peut mettre en pratique nos notions de continuite.
:jap:

[yos]

Ca doit être faux : par exemple en 1, il n'y a pas de limite car f(1)=1 et si on prend une suite d'irrationnels qui converge vers 1, son image par f est la suite nulle. Il en va de même en tout point rationnel (pas de limite, pas continue).

Par contre en un irrationnel a , c'est bon :
soit epsilon>0. Il y a un nombre fini de rationnels p/q tels que
1/(p+q)>epsilon.
On prend t>0 assez petit pour qu'aucun de ces rationnels ne soit dans
]a-t,a+t[. On a bien |f(x)|On a bien limite nulle en a. Donc f est continue en a.

J'en profite pour jeter une autre pierre dans la mare : existence de limite en a entraine continuité en a !!!

[quinto]

J'en profite pour jeter une autre pierre dans la mare : existence de limite en a entraine continuité en a !!!

Aie aie aie, ca dépend des livres, des auteurs et des profs.
Personnellement, je n'aime pas cette vision des choses.

[yos]

Bonjour et joyeux noel.

Je précise : On dit que f est continue en a lorsque f est définie en a et possède une limite en a.

Il est alors évident que la limite est nécessairement f(a). Il suffit de l'écrire avec des voisinages: Pour tout voisinage V de la limite L, il existe un voisinage U de a tel que f(U) C V. Or tout voisinage U de a contient a, donc
f(U) contient f(a), donc V contient f(a) . En résumé, tout voisinage de L contient f(a), donc L=f(a).

Ce n'est donc pas une question de vision des choses, mais de vieilles habitudes, et de relents d'une époque (1960?) où on travaillait avec des voisinages épointés (voisinage de a sans le point a, donc faux voisinage). Dans cette façon de voir, la fonction caractéristique de R* (qui vaut 0 en 0 et 1 sur R*) admet une limite en 0 qui est 1 ; on ne dit plus ça aujourd'hui.

Quoi qu'il en soit il faut considérer la chose suivante : quand on dit

"f est continue en a lorsque sa limite en a est f(a)",

on ne fait pas de vrai erreur, mais on fait un vrai pléonasme et on noie la question de l'existence de la limite.

[Wutang]

Une solution simple sur une idee simple :++:

A tout nombre positif e, on peut associer l'ensemble A tel que f(x)>e.
Les elements Ae sont les rationnels irreductibles P/Q tels que :
20, on peut associer un nombre positif k suffisamment petit pour que Ak, fini, n'ait aucun element dans chacun des intervalles ]x0-k,x0[ et ]x0,x0+k[.
Donc, quelque soit x appartenant a un de ces deux intervalles, on a :
0 f(x0)=o.
Donc f est continue en x0 x0 est irrationnel.
:jap:

[yos]

Bonjour.

Je cite :

"Par consequent, f admet au point x0 une limite egale a 0.
On en deduit que f est continue en x0 <=> f(x0)=o.
Donc f est continue en x0 <=> x0 est irrationnel"

C'est faux. Voir mes précédents messages.

Mais l'idée est bien là et c'est la même que la mienne.

[Wutang]

Ca doit être faux : par exemple en 1, il n'y a pas de limite car f(1)=1

Cher yos,
Je ne comprends pas, pardonnez-moi.
On a bien f : R ->]0,+infini[ et telle que :
* si x est irrationnel, f(x)=0
* si x est rationnel, f(x)=1/p+q (avec x=p/q, puisque rationnel).
On est bien d'accord ? C'est l'enonce du probleme. :lol3:

Alors 1 rationnel, avec p=q=1 en reduisant a p,q, premiers entre eux.
Donc 1/p+q=1/2 et f(1)=1/2, et non pas f(1)=1 comme vous l'ecrivez...

Peu importe, il me semble que lorsque x est irrationnel, lim f(x) = 0. f est continue sur son ensemble de depart des irrationnels.
Lorsque x est rationnel, f(x) existe toujours, definie de ]0,+infini[ ->]0,+infini[.

Donc, on a bien le 1) de la premiere question qui serait verifie : quelque soit x0>0, lim f(x) quand x->x0 existe.
Mais pour etre continue, f doit etre restreint aux irrationnels. Sinon, ca ne fonctionne pas.
Est-ce que je me trompe ?
Sincerement,
:jap:

[Anonyme]

Non, le fait qu'une fonction soit continue par morceau implique justement qu'il y a un nombre fini de discontinuité. La continuité sur un intervalle (dans son sens le plus stricte implique que la limite à droite et la limite à gauche de tout point du domaine soit la meme lorsqu'on tend vers ce point...

Bonjour,

J'aimerais savoir si : la continuité par moceaux sur un intervalle I => la continuité sur I .




Merci

[yos]

Hello wutang.

C'est bien f(1)=1/2, j'ai été trop vite mai cette valeur est sans importance ici. Ce qui importe, c'est que f(1) est non nul et que dans tout voisinage de 1, il y a des irrationnels où f prend la valeur 0. Il s'ensuit que f n'est pas continue en 1. Là dessus on est d'accord tous les deux.

Par contre on ne peut pas dire que f a pour limite 0 en 1 justement à cause de l'égalité f(1)=1/2 . C'est ce que j'ai expliqué dans un précédent message sur la définition de la continuité (continue=existence de limite). On peut seulement dire que la limite à gauche en 1 et la limite à droite en 1 valent 0. Quand on parle de limite à gauche en 1, on fait référence à la limite en 1 de la restriction de f à ]-oo,1[, de façon à ne pas se préoccuper de ce qui se passe en 1.

On peut finalement résumer le critère de continuité en a (ou d'existence de limite en a) par :
limite à gauche= limite à droite =f(a)
C'est le plus utile en pratique.

[Chimerade]

Il y a bien longtemps que je me suis endormi dans mon metier d'informaticien, et en re-ouvrant d'anciens livres des editions MIR :++: , et mon vieux dictionnaire des mathematiques Warusfel de... 1969, j'ai vu l'urgence de revenir a mes premiers amours : les mathematiques.

Eh, là ! C'est pas vieux ça ! Moi, en terminale, mon prof de maths a été gravement malade, absent pendant plusieurs mois... Pas de chance ! Mais j'ai eu deux remplaçants et l'un d'eux était Monsieur Warusfel ! On a bien regretté de ne l'avoir pas eu comme professeur titulaire : il avait une autre classe ! Mais on a bénéficié quand même un peu de son talent ! C'était en 1966 : tout récent quoi... :ptdr: :ptdr: :ptdr:

[Wutang]

Cher Chimerade,
Magnifique temoignage que tu nous livres !
Je suis ne en 1960, et a 13 ans, je m'etais decide pour avoir aussi un dictionnaire en maths, comme il y en avait en francais. Mais rien... Sauf ce dictionnaire de Warusfel, le premier en francais si je ne me trompe, et evidemment tres difficile alors pour mon age. Mais ca m'a fait faire un bond rapide en avant, et tres vite, je suis passe de moyen eleve, a etre reste dans les 3 premiers au long de mes etudes.
Il est en pieces detachees, pauvre dictionnaire qui a tant ete utilise, et qui reste genial. C'est bien dommage qu'il ne soit plus edite...
Sinon, j'avais ensuite decouvert des tres bons livres, du Nicolas Bourbaki, :lettre: et, evidemment, les editions russes Mir :++:
Warusfel, un genie et une tres grande honnetete intellectuelle, avec cette humilite qui faconne les grands Monsieurs.

Voila qui me rechauffe encore plus le coeur ! Ce forum est magnifique et merci a vous pour ce temoignage tres sympathique !

Du reste, pourquoi ce forum n'integrerait pas un chapitre complet sur l'histoire des mathematiques, avec de grands personnages ? C'est tres important, car meme un mathematicien vit dans son contexte, et en le connaissant, on apprehende bien mieux le savoir qu'il a transmis.
Et tant qu'on y est, ne pourrait-on avoir des interviews de ces personnes, comme Warusfel, ou des anciens du Bourbaki ? La encore, cela fait partie du patrimoine national, non ?
:jap: