Algèbre

[B0um]

Bonsoir, j'aurais besoin de votre aide pour l'exercice suivant :
1. n désigne un entier positif.
a) Prouvez que les nombres 2n+1 , 2n+3 et 2n+5 sont trois entiers impairs consécutifs dans la suite des nombres impairs.
b) Démontrez que :
(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)=6(n+1)+3
2. Trouvez trois nombres impairs consécutifs dans la suite des nombres impairs, dont la somme est 2001.
3.a) Quel est le reste de la division par 6 de chacun des nombres suivant :
1+3+5 ; 13+15+17 ; 99+101+103 .
b) Plus généralement, quel est le reste de la division par 6 de la somme de trois nombres impairs consécutifs (dans la suite des nombres impairs) ?

Voici mes réponses :
1. a) Un entier pair est de la forme 2n où n appartient à N.
Un entier impair est de la forme 2n+1 où n appartient à N.
Donc 2n+1, 2n+3 et 2n+5 sont des nombres impairs.
Les nombres 1, 3 et 5 sont les trois premiers nombres impairs donc ils sont consécutifs dans la suite des nombres impairs.
Par conséquent 2n+1,2n+3 et 2n+5 sont trois entiers impairs consécutifs dans la suite des nombres impairs.
b) (2n+1)+(2n+3)+(2n+5) = 2n+2n+2n+1+3+5=6n+9
6(n+1)+3= 6*n+6*1+3=6n+9
Donc (2n+1)+(2n+3)+(2n+5)=6(n+1)+3.
2. 2001= 665+667+669
3. a) 1+3+5 : reste 0
13+15+17 : reste 3
99+101+103 : reste 3
b) Le reste est un diviseur de 6.

Qu'en pensez-vous?
Merci de votre réponse.
Cordialement.

[aeon]

1a) Pour le fait que ce sont 3 nombres consécutifs dans la suite des nombre impairs, je trouve la démo un peu rapide. Je pense que ça doit être démontré par récurrence, ou par l'absurde.

3a) 1+3+5 = 9 = 1*6 reste 3
3b) => le reste de la division est toujours 3, à démontrer.

[B0um]

1a) Pour le fait que ce sont 3 nombres consécutifs dans la suite des nombre impairs, je trouve la démo un peu rapide. Je pense que ça doit être démontré par récurrence, ou par l'absurde.

3a) 1+3+5 = 9 = 1*6 reste 3
3b) => le reste de la division est toujours 3, à démontrer.

Merci, je vais y réfléchir.
Mais comment démontrer par l'absurde ou par récurrence ? Pouvez-vous me donner une piste ?

[oscar]

Bonsoir



S = 6n +9 = 6n +6 +3
S = 6(n+1) +


2) Soitb2n-1 + 2n+3 + 2n +5 = 2001 => calcule n

3) 2n-1 +2n+3+2n+5 = 6n +7

[B0um]

Bonsoir



S = 6n +9 = 6n +6 +3
S = 6(n+1) +


2) Soitb2n-1 + 2n+3 + 2n +5 = 2001 => calcule n

3) 2n-1 +2n+3+2n+5 = 6n +7

Bonsoir "Oscar", merci d'avoir répondu .
Excusez-moi mais je ne comprends pas très bien vos réponses.
Pour le 2), pourquoi dites-vous 2n -1 ?
Et pour S= , c'est par rapport à quelle question ?

[aeon]

C'est une erreur, ça doit être 2n+1. Du coup il faut aussi modifier le résultat en conséquence.

[B0um]

D'accord.
Alors :
2) Je calcule n
2n+1+2n+3+2n+5=2001
4n+9=2001
4n=2001-9
4n=1992
n=1992/4
n=498

Est ce que c'est juste ? :D

[aeon]

Il me semble que 2n+1+2n+3+2n+5 = 6n+9 et pas 4n+9 ^^

[B0um]

Oui je pense aussi puisque le signe est + au lieu de moins :D.

"Il me semble que 2n+1+2n+3+2n+5 = 6n+9 et pas 4n+9 ^^"
Cette démonstration sert à démontrer que le reste de la division par 6 est toujours 3 ?