Exercices séries

[sensor]

Bonsoir.
J'ai deux exercices sur les séries où je n'avance pas.
Voici les termes généraux des séries : Un=sin(Pi*(n²+2n+2)^(1/2))
Un= ((-1)^n)/(n+(-1)^(n+1)).
Pour la première j'ai fait un DL et je suis arrivé à : Pi/n + (Pi+1)/n² + o(1/n²)
Mais je ne vois pas comment poursuivre.
Pour le deuxième, j'ai réfléchi à un DL (pas l'air de marcher ici) ou d'utiliser le critère des séries alternées (mais je ne vois pas comment).
Merci de m'aider.

[leon1789]

Merci de m'aider.

oui, mais quelle est la question ?

[sensor]

quelle est la nature de la série ?

[miikou]

salut,
pour le premier, si le dl est bon (jai pas verifié) Un~pi/n, or 1/n diverge ( enfin sa serie ) donc ..
pour le deuxieme, ca ressemble etrangement a une serie alternée dis donc =)

[Purrace]

La 2 est une série alternée mais le critère n'est pas applicable , il faut plutôt effectuer un développement asymptotique.

[sensor]

non si Un=o(1/n²) alors la série converge.
Donc je voulais savoir si en ayant le DL : Pi/n + (Pi+1)/n² + o(1/n²)
on pouvait dire que la série converge ??? car o(1/n²) converge.
Je vais essayer le DL pour le 2ème.

[Purrace]

je ne te suis pas, ta suite est equivalent à pi/n en +inf .

[sensor]

t'es d'accord que le DL de Un=sin(Pi*(n²+2n+2)^(1/2)), c'est :
Pi/n + (Pi+1)/n² + o(1/n²) ou je me suis trompé ?
on a un terme en 1/n et des termes en 1/n² notamment le petit o.
or la série des 1/n diverge donc notre série Un diverge .
Pouvez vous me confirmer le réusltat ?
Pour le DL je suis en train de faire le DL.

[Purrace]

Si le DL est bon , alors c'est vrai .

[sensor]

POur le deuxième c-a-d: Un= ((-1)^n)/(n+(-1)^(n+1)), j'arrive à :
Un=((-1)^n/n)(1-((-1)^(n+1))/n + o(1/n).
Après je vois pas comment continuer.

[Purrace]

Et ben alors développe , (-1)^n/n est semi convergente , 1/n^2 Cv et o(1/n^2) est absolument convergente donc ta serie converge.

[sensor]

c'est quoi la semi-convergence ? (mon cours sur les séries n'est pas encore terminé).

[Purrace]

Semi convergence = convergence sans avoir convergence absolue.

[sensor]

ok. Donc en appliquant le théorème des séries alternées on obtient que la série est convergente.