Fonction convexe en Tle S

[danp]

Bonjour,

J'ai un exos, où les questions nous menaient, seuls, à trouver les caractéristiques graphiques des fonctions convexes.
Il fallait dire que les fonctions convexes sont toujours au-dessus de ses tangentes.

Maintenant on nous demande quelles conditions faut-il pour qu'un fonction du second degré vérifie la propriété trouvée.
Là, j'ai un petit problème ... je ne sais pas trop comment résoudre cette dernière question. Vous pourrez m'aider svp ?

Merci

[L.A.]

Bonjour.

quand on cherche une "condition pour que..." il faut chercher des idées, des exemples...

as tu une intuition sur la condition demandée, que tu vas ensuite démontrer ?

[danp]

comme exemples, là tout de suite, je pense à la fonction carré (la plus simple). ^^

[L.A.]

La fonction carré est convexe : OK. je te mets un peu plus sur la voie

si on prend une fonction polynômiale du 2nd degré : f(x) = ax²+bx+c,

sa courbe représentative est une parabole.

si cette parabole est "bombée" vers le haut, f n'a pas l'air convexe...

[danp]

.... euh ouais !!!

Dans ce cas on peut alors dire que toutes les fonctions du second degré qui ont une parabole bombée vers le bas verifient cette propriété ... (non ?)

[L.A.]

Tu as compris l'idée, maintenant il ne reste plus qu'a DE-MON-TRER :zen:

j'ai utilisé "bombée vers le haut", mais ça ne veut pas dire grand chose.
comment "une parbole ax²+bx+c est bombée vers le haut/bas" se traduit sur a,b et c ?

qu'en est il des paraboles plates ?

Et enfin : la condition a démontrer ?

[danp]

Oui dans ax² + bx + c

il faut que a soit positif pour que la fonction ait les mêmes propriétés qu'une fonction convexe.

Mais à partir du moment où on dit ça je ne vois pas ce qu'il y a à démontrer.
Il faudrait démontrer que avec a > 0, on est ds les propriétés de convexité ?

[danp]

et pour la parabole plate .... j'ai un peu du mal à le visualiser ...
Enfin moi je vois une fonction constante ... là c'est vrai qu'il n'y a pas de parabole ....

une parabole plate = fct constante ?

[L.A.]

Oui tout à fait, en tout rigueur on doit le démontrer.
(après tout dépend de l'énoncé exact de l'exercice.)

deux choses sont à montrer alors : que toute fonction du second degré convexe vérifie a >= 0 (attention au cas d'une parabole plate... a=0) ;
ET que toute fonction du second degré vérifiant a>=0 est convexe (le plus dur à mon avis !)

[danp]

C'est vrai que logiquement, il faudrait le démontrer mais pour cet exercice je doute un peu vu que le but de l'exercice était de faire connaissance avec la fonction convexe.

Et dans les questions ... aprés avoir dit que les fonctions convexes avaient leur courbes au-dessus de leurs tangentes, il nous demandent :

"déterminer sous quelle(s) condition(s) une fonction du second degré vérifie la propriété graphique précédente".

S'il fallait démontré minutieusement, ils l'auraient indiqué , non ?

[L.A.]

Pour moi, "déterminer" = "déterminer ... puis le démontrer"
ça demande plus de travail, mais sinon on rate la partie vraiment intéressante.

Après ce n'est pas moi qui tient le stylo et qui vais rendre la copie. Tu es seul juge... :zen:

[danp]

Ok merciii ^^

Je vais essayer de réfléchir un peu plus alors ^^

Merci pr l'aide en tout cas !!

[L.A.]

Envoie tes prémisses de démo si besoin, il y aura toujours quelqu'un pour corriger...

[nomad]

alors voila moi aussi j'ai le meme probleme que Danp
je ne vois pas d'ou commencé la demonstration :wrong:
j'aimerai bien que quelqun me met dansla voit
dnc on a ax²+bx+c comme fonction desecond degré
on ait que sa tangente est y = f'(a)(x-a)+f(a)
et on fait comment avec tut ça pour determiné les conditio pou qu'une fonction du 2nd degré soit convexe :triste:
SVP aider moi :cry: