Sujet de concour (Eude de produit de suite et algébre lineai

[Satto]

Bonjour je vous propose un sujet de concours de 1996

Je vous informe la signification des différentes couleurs utilisés Le rouge pour l’énoncé en bleu ma rédaction et en vert les idées à partir des quelles j’ai effectué des recherches mais je n’est pas réussi à aboutir

Votre objectif :
Me dire tout se qui ne vas pas au niveau de la rédaction
Me confirmer si les pistes que j’ai empreinte sont bonnes
Dans le cas contraire me donner un petit coup de pouce pour avancer

Il y a un petit probléme de typographie qui n'est pas en harmonie avec le logiciel que j'ai utilisé pour le traitement de texte:

petite indication :

p_n désigne le terme p d'indice n (cela est valable avec toute les ecritures de la forme a_b.

_(p=1)^(p=n)u_p désigne le produit des termes u indice p de p=1 jusqu'a p=n

Merci d’avance

Probléme 1

Soit (un) une suite de réels non nuls, on lui associe la suite (pn) définie par :

V n;) N* , p_n=;)_(p=1)^(p=n)u_p =u_1 u_2…..u_n

On dit que le produit (p_n) converge si la suite (p_n) admet une limite finie non nulle. Sinon on dit que le produit (p_n) diverge.
PREMIERE PARTIE

I- 1 En considérant le quotient p_(n+1)/p_n montrer que, pour le produit (p_n) converge, il est nécessaire que la suite (u_n) converge vers 1 .

I-1 V n;) N* p_(n+1)/p_n =(;)_(p=1)^(p=n+1)u_p )/(;)_(p=1)^(p=n)u_p )=U_(n+1)
D’après l’énoncé le produit (p_n) converge si la suite (p_n) admet une limite finie non nulle
Dans se cas P=lim;)(n;);));)p_n =;)
Par passage à la limite la relation p_(n+1)/p_n =(;)_(p=1)^(p=n+1)u_p )/(;)_(p=1)^(p=n)u_p )=U_(n+1) donne /;)=U_(n+1)=1
Donc si le produit converge, alors le terme général tend vers 1

I-2 Soit p_n=;)_(p=1)^(p=n);)(1+1/p;)).
Montrer que : V n;)1, p_n=n+1. Quelle est la nature du produit (p;)_n) ?

I-2 V n;)1, p_n=;)_(p=1)^(p=n);)((p+1)/p;))=2/1×3/2×4/3ׅ……n/(n-1)×(n+1)/n
Par suite p_n=n+1 et lim;)(n;);));)p_n =;) donc le produit (p;)_n) diverge

I-3 Soit un réel a différent de kPI (k;)Z) et p_n=;)_(p=1)^(p=n)cos(a/2^p ).
Pour tout entier naturel non nul, calculer p_n fois sin(a/2^n ) ;
En déduire que le produit (p_n) converge et donner la limite de la suite (p_n).

I-3 V n;) N* le terme général du produit (p_n) est égale à cos(a/2^p )
Or lim;)(n;);))cos(a/2^p ) =1 Donc le produit (p_n) n’est pas grossièrement divergent.

Pour calculer (p_n) j’ai recherché suivant plusieurs direction notamment des simplifications trigo mais je n’est pas aboutis :

p_n fois sin(a/2^n ) = _(p=1)^(p=n-1)(cos(a/2^p ))×1/2 sin(a/2^(n-1) )

J’ai dévelopé _(p=1)^(p=n-1)(cos(a/2^p )) = cos(a/2)×cos(a/4)×cos(a/8)ׅ……cos(a/2^(n-1) )

J’ai cherchée une simplification avec cos(p)+cos(q)=2×cos((p+q)/2)×cos((p-q)/2)

J’obtient un premier système :
a/2= (p+q)/2
a/4= (p-q)/2

j’en déduit p_1= 3a/4 et q_1=a/4

J’obtient un seconde système :
a/4= (p+q)/2
a/8= (p-q)/2

j’en déduit p_2= 3a/8= p_1/2 et q_2=a/8=q_1/2

J’en déduit donc la conjecture suivante :
_(p=1)^(p=n-1)(cos(a/2^p )) = 1/2(cos(p_1)+cos(q_1 )+cos(p_1/2)+ cos(q_1/2)+………….. cos((2p_1)/(n-1))+ cos(2q_1/(n-1))
Voila mais je n’arrive pas à conclure !
Fin de la première partie je vous laisse réfléchir je vous poste le reste dans la soirée merci

[Doraki]

"Donc le produit (p_n) converge si son terme général converge vers 1"
Ah non tu t'es trompé de sens
c'est "si le produit converge, alors le terme général tend vers 1"
toi t'as dit "si le terme général tend vers 1 alors le produit converge"

pour le 3 t'as essayé d'utiliser sin(2x) = 2sin(x)cos(x) ?

[Satto]

Ah non tu t'es trompé de sens
c'est "si le produit converge, alors le terme général tend vers 1"
toi t'as dit "si le terme général tend vers 1 alors le produit converge"

Oui merci
J'ai essayé j'ai une simplification avec mon cos et mon sin d ordre n je lest rédigé dans le poste mais aprés sa ne m avance pas plus !

[Purrace]

Peut tu recopier la question 3 , c'est illisible!!!

[Satto]

Toujour des problémes de tipographie les probléme lié au produit s'applique au somme et au intégrale les p=0 et p=n ou les t=p et t=p+1 caractérise les bornes des sommes produit et intégrale merci encore de bien vouloir essayer

DEUXIEME PARTIE

II- 1 Soit (p_n) un produit associé à une suite (U_n) qui converge vers 1

II-1a Montrer qu’il existe un entier n_0 tel que Vn n_0, u_n>0

II-1a Nous savons que (U_n) converge

Donc soit (U_n) est décroissante et minoré par 1.
Il est donc évident que tous les termes de (U_n) sont positif.
par suite Vn n_0, u_n>0

Soit (U_n) est croissante et majoré par 1.
et par suite V >0 il existe un entier n_0 tel que Vn n_0 |u_n-1|;)
Pour avoir l’égalité large il existe bien un entier n_0 tel que Vn n_0, u_n>0

II-1b On pose S_n= _(p=n0)^(p=n)(ln(u_p ))
Montrer que la convergence de la suite (S_n) équivaut à la convergence du produit(p_n).
Lorsque (S_n) converge vers l donner la limite de la suite (p_n) en fonction de l.

II-1b V n;) N,
S_n= _(p=n0)^(p=n)(ln(u_p ))=ln(u_n0)+ln(u_n1 )+ln(u_n2)+…. …. … ln(u_nn)
S_n= ln(u_n0×u_n1×u_n2ׅ… u_nn) = ln(;)_(p=n0)^(p=n)(U_p) )

Si (S_n) converge alors S=lim;)(n;);));)S_n = lim;)(n;);))ln(;)_(p=n0)^(p=n)(U_p) )

Donc lim;)(n;);))(;)_(p=n0)^(p=n)(U_p) ) existe et est fini d’où(p_n)= (;)_(p=n0)^(p=n)(U_p) ) converge.

Si S=l alors lim;)(n;);));)S_n =l
Par suite lim;)(n;);))ln(P_n ) = l
D’où lim;)(n;);))(P_n )=e^l

II-2 Soit p_n=;)_(p=1)^(p=n)((p)^(1/p)) et soit S_n= _(p=1)^(p=n)(lnp/p)

II-2a Montrer que Vp;)3, _(t=p)^(t=p+1)(lnx/x)dx lnp/p.

II-2a Soit f x->lnx/x étudions les variations de f

f est définie et C^;) sur [3,;)[, d’où V x [3,;)[ f^' (x)= (1-ln(x))/x^2
Or 1-ln(x) p^(1/p)=e^((ln(p))/p)
donc p_n=;)_(p=1)^(p=n)(p^(1/p))=e^(;)_(p=1)^(p=n)(lnp/p) )

Par passage à la limites on en déduit lim;)(n;);))(p_n)=1
Fin de la seconde partie le reste arrive.

[Satto]

Peut tu recopier la question 3 , c'est illisible!!!

je vais essayer de faire mieux je suis vraiment désolé mais je traville avec une version de word de vista et malheureusement le copier coller sur le site passe trés mal

[Satto]

Peut tu recopier la question 3 , c'est illisible!!!

voila j'espére que tu arrivera a y voir plus clair

[Purrace]

Pour la question 1 partie 2 , ce que tu dit est faux utilise plutôt la definition de la limite.

[Satto]

Pour la question 1 partie 2 , ce que tu dit est faux utilise plutôt la definition de la limite.

Je divise mon étude en deux cas dans le second cas je fait ressortir la définition de la limite . Tu pense que je devrai traiter sa un seul cas basée sur la définition de la limite ?

[Purrace]

Ta suite peut ne pas etre monotone.

Pour la question I 3 utilise sin(2x)/2sin(x)=cos(x)et prenant x=a/2^k tu obtient une formule avec telecopage.

[Purrace]

II 2b écrit que somme ( k=no..n, ln(uk))=ln(produit(n=n0..n, uk) et utilise la continuité de l'exponentiel .

[Satto]

Ta suite peut ne pas etre monotone.

Pour la question I 3 utilise sin(2x)/2sin(x)=cos(x)et prenant x=a/2^k tu obtient une formule avec telecopage.

Merci j'essairai demain la je continue à tout metre sur le site et sinon le reste sa vas ?

[Purrace]

II 2a utilise le fait que ta fonction décroit pour trouver l'inégalité .

[Satto]

II 2a utilise le fait que ta fonction décroit pour trouver l'inégalité .

c'est ce que j ai fait mais je pense que tu as du mal à lire ma rédaction

[Purrace]

Oui j'arrive a peine a lire l'énonce , donc désole.