Exo suites

[kimiferrari]

bonjour, j'ai à prouver la convergence éventuelle et la limite éventuelle de la suite un+1 = rac (2-un), tout en ne connaissant pas u0.
comment dois-je faire, merci ?

[Maxmau]

Bj
Si Un tend vers L , Un+1 aussi
Que donne alors la relation Un+1 = racine ( 2 -Un )

[kimiferrari]

l = rac(2-l) donc l² = 2-l donc l²-2+l = 0 puis chercher racines éventuelles ... ?
Comment prouver qu'elle converge alors ?

[Maxmau]

l = rac(2-l) donc l² = 2-l donc l²-2+l = 0 puis chercher racines éventuelles ... ?
Comment prouver qu'elle converge alors ?

Et L > 0 d’où L = 1
Conc : si la suite converge sa limite est nécessairement égale à ??

Converge –telle toujours ?
Est –elle seulement toujours définie ? (prends U0 = - 4 par exemple)
Trace la courbe y =racine (2-x) et fais une construction graphique des premiers termes de la suite. Ca te donnera des idées sur les cas à distinguer

[kimiferrari]

pardon j'ai oublié que l'on a u0 <= 2
je voulais prouver que un+1 > 0 pour prouver que la seule solution est 1, est-ce cela qu'il faut faire ?
pour les cas, comment tracer la courbe ? Je prends des valeurs différentes de u0 alors ?

[Maxmau]

Ok L=1

Tu traces y =f(x) )= racine (2-x) et la première bissectrice y =x
Tu places U0 sur l’axe des x
U1 = f(U0) tu as donc U1 sur l’axe des y à l’aide de la courbe représentative de f.. Tu ramènes U1 sur l’axe des x à l’aide de la première bissectrice et ainsi de suite . Tu places qq termes et ainsi tu peux avoir une idée du comportement de la suite selon la valeur de U0

[kimiferrari]

donc je fais ça pour plusieurs uo différents, et tu penses que je peux en tirer une conclusion ?

[kimiferrari]

pour -3avant -3, la racine devient rapidement négative

[kimiferrari]

ça me parait bizarre ce truc..

[Maxmau]

Pour U0 > 2 la suite n’est pas définie
Pour U0 < - 2 , U1 est défini mais > 2 donc la suite n’est pas définie
Pour U0 entre -2 et 2 comment se comporte –t-elle ?

[kimiferrari]

ni croissante ni décroissante, converge à partir d'un certain rang ?

[Maxmau]

ni croissante ni décroissante, converge à partir d'un certain rang ?

Bj
Pour u0 entre -2 et 2
Distingue la suite des termes d'indice pair et la suite des termes d'indice impair et montre que ces 2 sous suites sont adjacentes .Pour cela commence par comparer les signes de (Un+1 - Un ) et (Un - Un-1)

Rem: "converge à partir d'un certain rang " ne veut rien dire

[Maxmau]

Autre méthode
U0 entre -2 et 2
Montre qu’il existe un nombre k dans ]0,1[ tel que, à partir d’un certain rang :
|Un+1 – 1| <= k|Un - 1 |

[kimiferrari]

peux-tu m'expliquer pk montrer la propriété que tu énonces dans ton dernier post ?

[Maxmau]

peux-tu m'expliquer pk montrer la propriété que tu énonces dans ton dernier post ?

Je pose f(x) ) = rac(x-2). On a : Un+1 = f(Un) (et aussi f(1) = 1) d’où ;
Un+1 – 1 = f(Un) – 1
Soit après calcul : Un+1 – 1 = (1 – Un) ( 1/(1+rac(2-Un))
Quel que soit U0 dans [-2,2], U1 >= 0, U2 et les termes suivants sont dans [0,rac(2)]
Pour n>=2, on a donc : 1 + rac( 2 –rac(2))= 2
On en déduit que : |Un+1 – 1| <= k^(n-1)|U2 - 1 |
Je te laisse terminer après avoir vérifié tout ça

[kimiferrari]

c'est on ne peut plus clair, grand merci!
pour la conclusion c'est en quelque sorte un-l < epsilon ?
Comme le membre de droite tend vers 0, un a bien pour limite 1 ?

[kimiferrari]

est-ce cela ?

[Maxmau]

c'est on ne peut plus clair, grand merci!
pour la conclusion c'est en quelque sorte un-l < epsilon ?
Comme le membre de droite tend vers 0, un a bien pour limite 1 ?

OK Plus précisément:
|Un - L| plus petit que quelque chose qui tend vers zéro lorsque n tend vers infini
Donc lim Un = L

[kimiferrari]

après ça, lim = 1 et fini ou y'a-t-il autre chose à dire ?

[Maxmau]

Tu as montré la convergence et calculé la limite
je ne vois rien d'autre à ajouter