Ma solution :
Tout est basé sur
.
Soient
et
les coordonnées (entières) de
dans la base
de
. :
On a facilement les relations de récurrence
est de norme 1 :
La norme est multiplicative, et donc
vaut 1 aussi, ce qui veut dire exactement que
Et si vous connaissez pas la norme, c'est une relation qui se montre immédiatement par récurrence.
La relation de récurrence d'ordre 2 correspond au polynôme minimal de
, à savoir X²-4X +1.
On a
. En multipliant ça par
et en l'écrivant en termes de coordonnées, on voit alors que
et
vérifient toutes les deux cette relation d'ordre deux
.
Les formules générale pour
et
sont obtenues de la même façon que les formules d'Euler en trigonométrie :