Facteur direct

[HC53]

bonjour,
je dois montrer que 2Z n'est pas facteur direct de Z

N inclus dans M est un facteur direct implique que M est isomorphe à N + Q (somme directe) avec Q=M/N ?

Si je montre que Z n'est pas isomorphe à 2Z+ Q alors cela voudrait dire que 2Z n'est pas facteur direct

2Z est un sous Z module de Z
rang de 2Z = rang de Z = 1 ?
je pense que la famille libre {2} ne peut pas être complété en une base de Z
et donc 2Z n'a pas de sumplémentaire dans Z
ce qui voudrait dire qu'on ne peut pas trouver de Q tq 2Z+Q est isomorphe à Z ?

est-ce la bonne méthode ou ya-t-il une autre facon de procédé ?
merci pour votre aide.

[ThSQ]

C'est tout bête je crois :
u : Z -> 2Z avé u(2n) = 2n
u(1)=2n, 2n = u(2n) = ... = 4n² et pb

[HC53]

soit i : 2Z -> Z
2Z est un facteur direct si il existe un morphisme de Z-module u : Z->2Z TQ u o i = identité de Z, tu te sert de cette définition ?

u : Z -> 2Z avec u(2n) = 2n
u(1)=2n, 2n = u(2n) = ... = 4n² et pb

je ne comprend pas ce que tu as fait,
pourquoi u(2n)=2n et u(1) = 2n et ensuite comment arrive tu a la contradiction, peut tu détaillé un peu plus s'il te plait.
merci d'avance.