Barycentres - Droites concourantes

par **anto2b** » 25 Oct 2008, 16:57

Bonjour, voilà j'ai un problème sur un exercice sur les barycentres, merci de votre aide.

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ABCD est un quadrilatère. G est le centre de gravité du triangle ABC.
I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [BC].
L est le barycentre de (A, 1) et (D, 3) et K le barycentre de (C, 1) et (D, 3).

Le but de l'exercice est de démontrer que les droites (IK), (JL) et
(DG) sont concourantes.

Pour cela, on utilisera le barycentre H de (A, 1), (B, 1), (C, 1) et (D,3).

1. Placer, en justifiant, les points L et K.

2. Démontrer que H est le barycentre de G et D munis de coefficients que l'on précisera.

3. Démontrer que H est le barycentre de J et L munis de coefficients que l'on précisera.

4. Démontrer que H est le barycentre de I et K munis de coefficients que l'on précisera.

5. Conclure.

par **anto2b** » 25 Oct 2008, 17:03

Pour la 1)

Figure :

Pour les justifications :

- Soit L le barycentre de (A , 1) et (D , 3) avec (1 + 3

0) : on obtient :

vecteur (LA) + 3 vecteur (LD) = vecteur nul
vecteur (LA) + 3 vecteur (LA) + 3 vecteur (AD) = vecteur nul
vecteur (AL) = 3/4 vecteur (AD)

- Soit K le barycentre de (C , 1) et (D , 3) avec (1 + 3

0) : on obtient :

vecteur (KC) + 3 vecteur (KD) = vecteur nul
vecteur (KC) + 3 vecteur (KC) + 3 vecteur (CD) = vecteur nul
vecteur (CK) = 3/4 vecteur (CD)

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Est ce que c'est bon ?

par **pianiste06** » 25 Oct 2008, 17:20

inutile de faire la démo, tu pouvais directement sortir l'expression vectorielle permettant de trouver la position du barycentre (c'est un résultat de cours admis)...

par **anto2b** » 25 Oct 2008, 17:24

Par contre je n'arrive pas a faire la 2) , pouvez vous m'aidez ?

par **rene38** » 25 Oct 2008, 17:26

anto2b a écrit:Par contre je n'arrive pas a faire la 2) , pouvez vous m'aidez ?

Pense que G est l'isobarycentre de A, B, C.

par **anto2b** » 25 Oct 2008, 17:38

Pour la 2)

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Est ce que c'est bon ?

par **rene38** » 25 Oct 2008, 18:29

Oui.

Ou bien de (G, 1) et (D, 1)
Autrement dit (non demandé) H est le ...

Pour les autres questions, on reprend "barycentre H de (A, 1), (B, 1), (C, 1) et (D,3)" qu'on regroupe autrement.

par **anto2b** » 25 Oct 2008, 18:40

Pour la 2) est ce que je dois rajouter que H est l'isobarycentre de [GD] car les points G et D ont le même coefficient
??????,

par **rene38** » 25 Oct 2008, 18:46

H est l'isobarycentre de [GD]

Je dirais pluyôt le milieu de [GD] mais c'est une remarque en passant, hors sujet.

par **anto2b** » 25 Oct 2008, 18:54

Pour la 3) quels point dois je utilise ?

par **rene38** » 25 Oct 2008, 18:59

Toujours les 4 mêmes :

"Pour cela, on utilisera le barycentre H de (A, 1), (B, 1), (C, 1) et (D,3)."

regroupés (2 par 2) convenablement.

par **anto2b** » 25 Oct 2008, 19:04

Mais je dois faire intervenir aussi les point J et L ?

par **rene38** » 25 Oct 2008, 19:06

anto2b a écrit:Mais je dois faire intervenir aussi les point J et L ?

Qu'est-ce que J ? Qu'est-ce que L ?

par **anto2b** » 25 Oct 2008, 19:12

J milieu de [BC]

L = 3/4 [AD]

par **anto2b** » 25 Oct 2008, 19:43

et ca entraine quoi ?

par **anto2b** » 25 Oct 2008, 21:37

3) On veut démontrer que H est le barycentre de J et L.

Comme J est le milieu du segment [BC], alors on a : J = bar (B,1) et (C,1).
De plus, on sait que L= bar(A,1)(D,3) donc d'après la loi d'associativité des barycentres on a : H = bar(J,2) et (L,4)

Le point H est le barycentre de (J ; 2) et de (L ; 4)

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Est ce juste ?

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