Module libre

[HC53]

bonjour,

Z/6Z est un Z/6Z module libre car il admet une base : {1}

en utilisant Z/2Z x Z/3Z considéré comme Z/6Z module, je dois montrer qu'un sous-module (et même un facteur direct) d'un module libre n'est pas toujours libre.

je pense qu'il faut montrer que par exemple Z/2Z est un sous-module de Z/6Z qui est non libre ?
mais je ne vois pas pourquoi le groupe Z/2Z n'est pas libre ?
il possède pourtant une base :{1}
quelqu'un peut-il m'aider ?

[ThSQ]

un sous-module (et même un facteur direct) d'un module libre n'est pas toujours libre.

Pas pas trop mais il y a des exemples ultra-simples comme 2Z[X] + XZ[X] dans [X]

[leon1789]

en utilisant Z/2Z x Z/3Z considéré comme Z/6Z module, je dois montrer qu'un sous-module (et même un facteur direct) d'un module libre n'est pas toujours libre.

Un facteur direct d'un module libre est appelé un sous-module projectif.

Exemple incontournable : l'image d'une matrice de projection (P² = P)

je pense qu'il faut montrer que par exemple Z/2Z est un sous-module de Z/6Z qui est non libre ?
mais je ne vois pas pourquoi le groupe Z/2Z n'est pas libre ?
il possède pourtant une base :{1}
quelqu'un peut-il m'aider ?

tu te trompes : le 1 de Z/2Z n'est pas libre car