Nombres de Gauss

[dominique.abgrall]

Bonjour,
Un petit problème en apparence simple :
Soit Z[i]={a+ib : a,b dans Z} i²=-1
je cherche tous les u non nuls de Z[i] tq 1/u soit dans Z[i]
si je pose u=c+id, c,d dans Z\{0} et 1\u=e+if, e,f dans Z
j'en arrive à ceci
[e et f non nuls --- c et d premiers entre eux (sinon pas de solution) --- ce-df=1 et ed+cf=0]
comment donner une forme explicite à ce bazar ?
on sent du gauss, du bezout et de la divisiblité, mais je ne trouve pas le bon bout
Merci d'avance

[Maxmau]

Bj

Si u et v sont dans Z(i) tels que : uv=1 alors |u||v|=1 avec |u| et |v| dans Z
(voir rectificatif plus loin)

[dominique.abgrall]

tu écris : |u||v|=1, d'accord
mais |u| et |v| dans Z ?
acceptons le pour l'instant
Supposons |v| dans Z
|u|=1/|v|, comme |v| est dans Z, alors |u| n'y est pas
sauf si |v|=1
v=a+ib, a et b dans Z non tous deux nuls
|v|²=a²+b² alors a² et b² dans N* implique a=1 et b=0 ou le contraire :
donc deux solutions pour le cas où |u| et |v| dans Z : 1 et i

Il reste à montrer que |u| et |v| sont dans Z
|u||v|=1
u=a+ib
v=c+id
a,b (resp c,d) non tous deux nuls dans Z
|u||v|=1
rac(a²+b²)rac(c²+d²)=1
produit de 2 nombres positifs
si ce sont deux racines différentes : rac(j)rac(k), j différent de k
-> pas de solution dans Z
si ce sont deux carrés parfaits : lm : ok, on a vu au dessus
si il n'y a qu'un carré parfait : nrac(p) : même pas dans Q

...
Ok merci beaucoup
:we:

[dominique.abgrall]

comme quoi, il s'agit de prendre le pb par le bon bout
et surtout ne jamais s'enfoncer dans la résolution d'un système non linéaire !!

[dominique.abgrall]

Dans la même veine,
si jamais quelqu'un a une démonstration de :
- produit d'un rationnel non nul et d'un irrationnel est irrationnel
- somme d'un rationnel et d'un irrationnel est irrationnel
- somme de deux irrationnels qui ne sont pas l'opposé l'un de l'autre est irrationnel
- produit de deux irrationnels qui ne sont pas l'inverse l'un de l'autre est irrationnel

ça tombe sous le sens mais tout de même ...
Et puisque R\Q n'est pas un corps ...
mais enfin, ça doit se faire assez facilement...
Merci

[Maxmau]

tu écris : |u||v|=1, d'accord
mais |u| et |v| dans Z ?
acceptons le pour l'instant
Supposons |v| dans Z
|u|=1/|v|, comme |v| est dans Z, alors |u| n'y est pas
sauf si |v|=1
v=a+ib, a et b dans Z non tous deux nuls
|v|²=a²+b² alors a² et b² dans N* implique a=1 et b=0 ou le contraire :
donc deux solutions pour le cas où |u| et |v| dans Z : 1 et i

Il reste à montrer que |u| et |v| sont dans Z
|u||v|=1
u=a+ib
v=c+id
a,b (resp c,d) non tous deux nuls dans Z
|u||v|=1
rac(a²+b²)rac(c²+d²)=1
produit de 2 nombres positifs
si ce sont deux racines différentes : rac(j)rac(k), j différent de k
-> pas de solution dans Z
si ce sont deux carrés parfaits : lm : ok, on a vu au dessus
si il n'y a qu'un carré parfait : nrac(p) : même pas dans Q

...
Ok merci beaucoup
:we:

Mille excuses !

Il faut lire |u|²|v|²=1 avec |u|² et |v|² dans N
D’où nécessairement |u|² = 1 et ça va tout seul

[dominique.abgrall]

ok, je vois

merci

[Maxmau]

Dans la même veine,
si jamais quelqu'un a une démonstration de :
- produit d'un rationnel non nul et d'un irrationnel est irrationnel
- somme d'un rationnel et d'un irrationnel est irrationnel
- somme de deux irrationnels qui ne sont pas l'opposé l'un de l'autre est irrationnel
- produit de deux irrationnels qui ne sont pas l'inverse l'un de l'autre est irrationnel

ça tombe sous le sens mais tout de même ...
Et puisque R\Q n'est pas un corps ...
mais enfin, ça doit se faire assez facilement...
Merci

Re

Soit r un rationnel et un irrationnel
Si le produit r était rationnel ….. ?.......

[Maxmau]

- somme de deux irrationnels qui ne sont pas l'opposé l'un de l'autre est irrationnel
- produit de deux irrationnels qui ne sont pas l'inverse l'un de l'autre est irrationnel

Merci

Sont ce des questions ou des affirmations ?

[dominique.abgrall]

en réalité ce sont des arguments que j'utilise dans une démonstration
ce sont des affirmations. La question est plutôt : est ce qu'ils nécessitent une démonstration ?
je crois qu'on pourrait bidouiller en copiant sur la classique dem que si n n'est pas un carré parfait alors rac(n) est irrationnel
mais je ne sais pas où ça peut nous mener

Au final, penses tu que je puisse le balancer comme ça ?
C'est dans un truc du genre :
je dis que (a+b.rac(3)).rac(2)+c.rac(3) est forcément irrationnel, a,b,c dans Z non nuls

[Maxmau]

Rac(2) + (1-rac(2)) = 1

[dominique.abgrall]

oui, mais là, j'ai
a.rac(2)+b.rac(3)+c.rac(6)
est ce qu'il existe, a,b,c dans Z tq cette somme soit rationnelle, on peut réduire en disant peut elle être égale à 1.
Je sais que non
mais il faut le prouver

[dominique.abgrall]

j'ai une autre méthode
je cherche en fait à montrer que 1, rac(2), rac(3) et rac(6) sont indépendant par rapport à Q
cad que a,b,c,d dans Q tq a+brac(2)+crac(3)+drac(6)=0 implique a=b=c=d=0
alors, en extrayant les facteurs en rac(2) de là, on obtient :
b+d.rac(3)=0
cad que d=0 (sinon, on pourrait écrire rac(3)=-b/d : impossible)
alors b=0
on extrait aussi les fact en rac(3) de là, on obtient :
c+d.rac(2)=0
de même c=d=0
d'où a=0
et c'est bon.

Est ce recevable ?

[Doraki]

Comment tu justifies que tu peux extraire les facteurs en rac(2) ?

[dominique.abgrall]

j'utilise cette pté:
si A=Somme[i=1àn](a(i).rac(b(i))=Somme[i=1àn](c(i).rac(b(i))
avec a(i) et c(i) dans Q et les b(i) premiers entre eux dans N*
Ici je suppose que s'il existe une écriture de ma somme en rac(b(i)) alors je peux identifier les coefs (pté ci dessus) [et c'est ça qui me semble foireux : y a t il vraiment unicité et existence ?] et ainsi, j'en tire les 2 égalités.

[Maxmau]

Ok
Mais en toute rigueur tes 2 dernières affirmations sont fausses
(les 2 premières étant assez évidentes)

Pour ton pb. Ecris par exemple
p rac(2) + q rac(3) = rac(6) +r où p,q r sont rationnels
vois ce que ça donne en élevant au carré

[dominique.abgrall]

j'utilise cette pté:
si A=Somme[i=1àn](a(i).rac(b(i))=Somme[i=1àn](c(i).rac(b(i))
avec a(i) et c(i) dans Q et les b(i) premiers entre eux dans N*

j'oublie la fin de la pté :
"alors, on a a(i)=c(i) pour tout i entre 1 et n"

[Doraki]

Ici tu as (a+b.rac2) + (c+d.rac2).rac3
Tes coefficients sont dans Q[rac2] et pas dans Q.

Et puis d'où tu sors cette proposition, faut pas dire que les bi ne sont pas des carrés, aussi ?

[dominique.abgrall]

Ok
Mais en toute rigueur tes 2 dernières affirmations sont fausses
(les 2 premières étant assez évidentes)

Pour ton pb. Ecris par exemple
p rac(2) + q rac(3) = rac(6) +r où p,q r sont rationnels
vois ce que ça donne en élevant au carré

oui, je vois bien que ça ne marche pas
mais pour ton exemple, il ne correspond pas au pb
car tu n'as pas de coef devant rac(6)
et arriver à ça reviendrait par diviser par le coef de rac(6)
alors que je cherche justement à montrer qu'il est nul comme tous les autres
...
ok, tu veux peut être me dire que par l'absurde ça irait
ici :
2p²+3q²+2pqrac(6)=6+r²
ie rac(6)=qqchose dans Z
oui, c'est bien trouvé
...
ok
ça me va
Merci
...
pour l'extraction des rac(), oubliez ce que j'ai écrit plus haut, c'est faux

[Doraki]

(rac(6)+r)² = 6 + 2r.rac(6) + r²