STP DM teminal questions ouvertes...

[mike10]

Bonjour j'ai un DM de maths et j'ai 3 questions ouvertes à traiter mais je n'ai jamais traiter ce genre d'exercices, je n'y comprends rien ...
Pourriez vous m'aider svp, je n'ai plus beaucoup de temps...

- Est-ce que le produit de deux nombres qui s'écrivent chacun comme somme de deux carrés d'entiers est encore une somme de deux carrés d'entiers ?

- Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0;1] par : f(x) = x - 2racine de x + 1. Cette courbe est-elle un arc de cercle ?

- Dans IR vous savez qu'un trinôme du second degré peut admettre 0, 1 ou 2 racines. Dans IR, combien de racines peut admettre un polynôme du troisieme degré ?


Je vous remercie d'avance pour votre aide

[Huppasacee]

Ecris pour la première le fait que le premier nombre N est la somme de 2 carrés

Pareil pour le deuxième nombre M

Développe le produit

Prends les termes 2 par deux ( 2 groupes de 2 )

imagine ce que tu peux faire pour avoir un carré + un autre carré

pense à (a+b)² et à (c-d)² , si les 2 "doubles produits" étaient égaux ?

[Huppasacee]

sais tu comment on écrit l'équation d'un cercle

non pas sous la forme y = f(x )

mais plutôt f(x) = g(y) (définition du cercle : ensemble des points ...)

[mike10]

Bonjour,
Merci pour votre réponse.
Mais pour la 2 je sais que si je réussit à écrire f de la forme (x-a)²+(y-b)²=R²
c'est gagné!
Mais j'y arrive pas...

[Huppasacee]

c'est que la réponse est non

moi j'aboutis à

(y+1)² = ( -1)²
ce qui n'est pas l'équation d'un cercle

[rene38]

Bonjour

- Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0;1] par : f(x) = x - 2racine de x + 1. Cette courbe est-elle un arc de cercle ?

Que représentent les axes pour cette courbe ?

Si c'est un cercle, quel est son centre C ? Quel est son rayon R ?

Soit un point P de la courbe (*) : calcule CR et conclus.

(*) bien choisi et autre que (1;0) et (0;1)

[Huppasacee]

Pour la 2 toujours

Un cercle est tel qu'on ne peut pas dire que l'on peut trouver une fonction f telle que y = f(x)

en effet, pour une ordonnée on a 2 points du cercle , donc 2 images , pas possible

admettons que ce soit un demi cercle seulement
a-t-il des points à l'infini ? or le graphe de f est tel que lim quand x tend vers infini .... ( en gros x est borné pour un cercle et là il ne l'est pas )

[rene38]

Pour la 2 toujours

Un cercle est tel qu'on ne peut pas dire que l'on peut trouver une fonction f telle que y = f(x)

en effet, pour une ordonnée on a 2 points du cercle , donc 2 images , pas possible

admettons que ce soit un demi cercle seulement ou un quart
a-t-il des points à l'infini ? or le graphe de f est tel que lim quand x tend vers infini .... ( en gros x est borné pour un cercle et là il ne l'est pas )

Oui mais ...

Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0;1] par : f(x) = x - 2racine de x + 1. Cette courbe est-elle un arc de cercle ?

[Antho07]

Pour l'histoire de l'arc de cercle, une idee pourrait etre de chercher le centre du cercle, puis de calculer la distance entre un point de la courbe et le centre.

[Antho07]

Modulo erreur de calcul eventuelle, j'ai trouvé que la courbe n'etait pas un arc de cercle mais "pas tres loin de l'etre" (de l ordre de 6 centieme pour la variations du rayon)

[aeon]

Pour le deuxième problème, on peut procéder par l'absurde :
On suppose que c'est un arc de cercle, on dérive la fonction :



A partir de là, on montre que la tangente en 0 est la droite x=0 et que la perpendiculaire à la tangente en 0 est la droite y=1

De même, on montre que la tangente en 1 est la droite y=0 et que la perpendiculaire à la tangente en 1 est la droite x=1

Du coup, le "centre" est le point d'intersection des deux perpendiculaires, c'est le point (1,1).

Puis on calcule la distance R entre le centre et le point (x, f(x)). On remarque que R n'est pas constant, mais dépend de x (même si c'est très proche de 1 pour x compris entre 0 et 1).

=> ce n'est pas un cercle.

Le troisième problème est assez simple. Reste le premier...

[Antho07]

Pour le deuxième problème, on peut procéder par l'absurde :
On suppose que c'est un arc de cercle, on dérive la fonction :



A partir de là, on montre que la tangente en 0 est la droite x=0 et que la perpendiculaire à la tangente en 0 est la droite y=1

De même, on montre que la tangente en 1 est la droite y=0 et que la perpendiculaire à la tangente en 1 est la droite x=1

Du coup, le "centre" est le point d'intersection des deux perpendiculaires, c'est le point (1,1).

Puis on calcule la distance R entre le centre et le point (x, f(x)). On remarque que R n'est pas constant, mais dépend de x (même si c'est très proche de 1 pour x compris entre 0 et 1).

=> ce n'est pas un cercle.

Le troisième problème est assez simple. Reste le premier...

Pas très pedagogique que de balancer la réponse quasi entiere
L'interet de la question est de laisse reflechier l'eleve noteement sur comment determiner le centre d un cercle connaissant un arc de celui ci

[aeon]

Pour le premier problème, nous avons un premier nombre qui est le produit de deux autres nombres, eux même sommes de deux carrés. Soit encore :

On développe et on obtient une expression avec plein de carrés.

Ensuite, nous avons le même nombre qui doit être égal à une somme de deux carrés. Soit encore


Il reste à trouver comment remplacer A et B par des expressions dépendant de a, b, c et d afin d'obtenir le même résultat qu'au début.

En tâtonnant un peu et en s'aidant du post de Hupasacee, on trouve assez facilement.

[aeon]

Pas très pedagogique que de balancer la réponse quasi entiere
L'interet de la question est de laisse reflechier l'eleve noteement sur comment determiner le centre d un cercle connaissant un arc de celui ci

OK. Effectivement.
:hum: