Exercice sur la convergence d'une suite..

[m-o-u-s-t-i-k]

Bonsoir

J'ai crée un topic sur une suite convergente.. mais quand j'essaye de l'ouvrir ça me fait ça :

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Est ce que quelqu'un peut me faire un copier coller des réponses que l'on ma proposé..

Merci

[leon1789]

Je ne peux pas non plus. :triste:

[Dominique Lefebvre]

Bonsoir

J'ai crée un topic sur une suite convergente.. mais quand j'essaye de l'ouvrir ça me fait ça :

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Merci

Bonsoir,
Je suis désolé, mais ta discussion est inaccessible. Tu vas devoir la ré-ouvrir...

Dominique

[m-o-u-s-t-i-k]

J'en ai de la chance moi :mur:

Bon ba je vais vous redonner ce qui me pose problème en éspérant pouvoir lire les réponses cette fois ci :we:

1) c. Soit U(n) une suite de réel admettant un nombre réel a pour limite. Soit V(n) la suite définit par V(n) = (-1)^n * U(2n).
Alors V(n) est convergente si et seulement si a = 0.

Il faut le démontrer :hum:

2) Soit U(n) une suite de réels tendant vers un nombre réel a.
a) Soit V(n) la suite définit par V(n) = [U(n)], [..] désigne la partie entière de U(n). Est-il vrai que la suite V(n) converge toujours?

La réponse semble évidente, mais je n'arrive pas a le démontrer :hein:

b) On pose W(n) = U(n-[U(n)). Montrer que la suite W(n) est convergente

Merci.. :we:

[abcd22]

Bonsoir,

1) c. Soit U(n) une suite de réel admettant un nombre réel a pour limite. Soit V(n) la suite définit par V(n) = (-1)^n * U(2n).
Alors V(n) est convergente si et seulement si a = 0.
Il faut le démontrer :hum:

Si a est non nul, on peut trouver une sous-suite de V qui converge vers a et une qui converge vers -a.

2) Soit U(n) une suite de réels tendant vers un nombre réel a.
a) Soit V(n) la suite définit par V(n) = [U(n)], [..] désigne la partie entière de U(n). Est-il vrai que la suite V(n) converge toujours?
La réponse semble évidente, mais je n'arrive pas a le démontrer :hein:

Non c'est faux, cherche un contre exemple.

b) On pose W(n) = U(n-[U(n)). Montrer que la suite W(n) est convergente

C'est bien U(n) - [U(n)] ? Si oui c'est faux aussi puisque la réponse à la question précédente est négative... C'est vrai si a n'est pas entier, ou si on a d'autres hypothèses sur la suite U (monotone par exemple).

[m-o-u-s-t-i-k]

Bonsoir,

Si a est non nul, on peut trouver une sous-suite de V qui converge vers a et une qui converge vers -a.

Ah je crois avoir compris, si U(2n) n'est pas nul alors V(n) a 2 sous suites qui convergent vers des limites différentes, donc V(n) ne converge pas!!

Non c'est faux, cherche un contre exemple.

J'en trouve pas.. :hum:

C'est bien U(n) - [U(n)] ? Si oui c'est faux aussi puisque la réponse à la question précédente est négative... C'est vrai si a n'est pas entier, ou si on a d'autres hypothèses sur la suite U (monotone par exemple).

D'après l'énoncé W(n) doit converger..

Et la question ne semble pas ètre U(n) - [U(n)] mais bien W(n) = U(n-[U(n)])

[abcd22]

Ah je crois avoir compris, si U(2n) n'est pas nul alors V(n) a 2 sous suites qui convergent vers des limites différentes, donc V(n) ne converge pas!!

Oui.

J'en trouve pas.. :hum:

La réponse est presque dans ma remarque sur la question suivante : si on veut que U converge mais pas sa partie entière, il faut déjà que a soit entier et que U ne soit pas monotone... La fonction partie entière est constante sur les intervalles de la forme [n, n + 1[ avec n entier, donc si on veut que [U(n)] ne converge pas, il faut que les valeurs de U ne soient pas toutes dans un intervalle de cette forme à partir d'un certain rang...

D'après l'énoncé W(n) doit converger..

Et la question ne semble pas ètre U(n) - [U(n)] mais bien W(n) = U(n-[U(n)])

Ah avec cette définition-là ça marche mieux. Quelle est la limite de n - [U(n)] quand n tend vers l'infini ?

[m-o-u-s-t-i-k]

La réponse est presque dans ma remarque sur la question suivante : si on veut que U converge mais pas sa partie entière, il faut déjà que a soit entier et que U ne soit pas monotone... La fonction partie entière est constante sur les intervalles de la forme [n, n + 1[ avec n entier, donc si on veut que [U(n)] ne converge pas, il faut que les valeurs de U ne soient pas toutes dans un intervalle de cette forme à partir d'un certain rang...

Je crois que j'ai compris comme on veut que la partie entière, et que U(n) peut tendre vers un réel, alors la partie entière de U ne tend pas vers ce réel donc n'est pas convergente.. c'est ça ?

Ah avec cette définition-là ça marche mieux. Quelle est la limite de n - [U(n)] quand n tend vers l'infini ?

Ba l'infini.. donc W(n) ne converge pas? :hum:

[abcd22]

Je crois que j'ai compris comme on veut que la partie entière, et que U(n) peut tendre vers un réel, alors la partie entière de U ne tend pas vers ce réel donc n'est pas convergente.. c'est ça ?

Non, la partie entière de U peut tout à fait tendre vers partie entière de a ; mais si a est entier, elle peut osciller entre a et a - 1 au lieu de converger (c'est-à-dire « être égale à partir d'un certain rang » puisque qu'elle est à valeurs entières) vers a. Cherche un exemple de suite qui donne ça.

Ba l'infini.. donc W(n) ne converge pas? :hum:

Ben si, W(n) = U(n - [U(n)]), c'est n - [U(n)] qui tend vers l'infini, pas U(n - [U(n)]).

[m-o-u-s-t-i-k]

Enfet ce serait pas plus simple de dire que :

[Un] converge si Un converge

Comme ça on peut dire :

Wn = Un - [Un]

Wn a 2 sous suites convergentes donc Wn converge.

[abcd22]

[Un] converge si Un converge

Sauf que c'est faux. Par exemple avec , on a pour n pair et [/tex]u_n = -1[/tex] pour n impair.

[Huppasacee]

Pour la 2
contre exemple

Un = 1 +( (-1)^n ) / n
Un converge vers 1 et Vn passe alternativement de 0 à 1

[Huppasacee]

Contre exemple similaire à celui de abcd22