Je n'arrive pas à résoudre ce système :hum:
Avec : x(0) = 0, y(0) = -1, z(0) = 4
Des indices :hum: ?
Merci
Système d'équations différentielles
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Système d'équations différentielles
par Skrilax » 15 Oct 2008, 19:05
Bonsoir,
Je n'arrive pas à résoudre ce système :hum:
 = y(t) + z(t) - 2x(t)\\y'(t) = x(t) + z(t) - 2y(t) \\ z'(t) = x(t) + y(t) - 2z(t)} \right)
Avec : x(0) = 0, y(0) = -1, z(0) = 4
Des indices :hum: ?
Merci
Je n'arrive pas à résoudre ce système :hum:
Avec : x(0) = 0, y(0) = -1, z(0) = 4
Des indices :hum: ?
Merci
par Makunouchi » 15 Oct 2008, 19:25
ah tiens, c'est curieux ca... j'ai le même exercice à faire. Il doit surement y avoir une petite astuce...
Maku
Maku
par Skrilax » 16 Oct 2008, 18:01
Je me permet d'upper ce topic étant donné que je trouve toujours pas...
par nyafai » 17 Oct 2008, 08:59
fais d'abord la somme des trois équations pour trouver une relation entre x, y et z, puis un peu de substitution et c'est bon :we:
par Makunouchi » 19 Oct 2008, 10:18
On obtient x' + y' + z' = 0 mais même avec ça... j'ai fais toutes les substitutions possibles lol et ca ne veut pas marcher.
par Skrilax » 19 Oct 2008, 15:03
J'ai fini par trouver vers 1h30 du mat' ^^
J'expose ma solution, ne serait-ce que pour le plaisir de l'écrire une deuxième fois :we:
Tout d'abord, mais ça je pense que tout le monde le voit rapidement, on a :
 + y'(t) + z'(t) = 0)
J'ai posé = y(t) + z(t) + x(t))
Je dérive :
 = y'(t) + z'(t) + x'(t) = 0)
Or, = a'(t) + cte = a'(t) + a(0))
D'ou, pour tout réel t : = 3)
On a donc : + y(t) + z(t) = 3)
__________
On substitue :
 = y(t) + z(t) + x(t) - 3x(t) = 3(1-x(t)))
Une équation de x est donc : x(t) = ke^{-3t} -(\frac{-3}{3}) = ke^{-3t} + 1 [/tex] où k est une constante réelle.
On détermine facilement k grâce à f(0) = 0, il vient donc :
 = -e^{-3t} + 1)
__________
On procède de même pour z et y, on arrive à : = 3(1-y(t)))
et  = 3(1-z(t)))
On a donc :
 = k'e^{-3t} + 1)
et  = k''e^{-3t} + 1)
On détermine k' et k'' pour les deux équations, ce qui aboutit à :
 = -e^{-3t} + 1\\y(t) = -2e^{-3t} + 1 \\ z(t) = 3e^{-3t} + 1} \right)
J'expose ma solution, ne serait-ce que pour le plaisir de l'écrire une deuxième fois :we:
Tout d'abord, mais ça je pense que tout le monde le voit rapidement, on a :
J'ai posé
Je dérive :
Or,
D'ou, pour tout réel t :
On a donc :
__________
On substitue :
Une équation de x est donc : x(t) = ke^{-3t} -(\frac{-3}{3}) = ke^{-3t} + 1 [/tex] où k est une constante réelle.
On détermine facilement k grâce à f(0) = 0, il vient donc :
__________
On procède de même pour z et y, on arrive à :
On a donc :
On détermine k' et k'' pour les deux équations, ce qui aboutit à :
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