F'' et f bornée, f' bornée aussi?

[Hardtoexplain91]

Bonjour, suffit-il de dire que f'' et f sont bornées sur R, pour dire que f' est bornée sur R? Merci

[Hardtoexplain91]

?? personne????

[Hardtoexplain91]

................?

[L.A.]

Bonjour.

Les fonctions sont définies et dérivables sur tout R ?
Je cherche...

[tite-pomme38]

Je n'est pas compris ce que tu voulais dire :hein: .

[Hardtoexplain91]

oui
je veux juste savoir si on peut admettre que f' est bornée sur R si f et f'' sont bornées sur R.
f est deux fois dérivable sur R, et elles sont continues également.

[L.A.]

Je pense que la réponse est oui, mais je cherche encore...

[L.A.]

C'est vrai si on suppose f' >= 0.

[Hardtoexplain91]

ok:), merci

[L.A.]

Bon ben je mets ma démo :

posons g = f'. on a donc f'' = g' bornée, et g positive.
il existe M >= 0 tel que pour tout t, |g'(t)| <= M

supposons g(t0) = y0 alors pour tout t1 >= t0
on a g(t1) - g(t0) >= - M(t1-t0)
en effet g(t1) - g(t0) = integ(t0,t1,g'(s)ds) >= intég(t0,t1,-M) = -M (t1 - t0)

donc g(t1) >= y0 - M(t1-t0).

supposons g non bornée, et soit A >= 0
alors il existe t0 tel que y0 = g(t0) >= A + M
alors f(t0 + 1) >= integ(t0,t0+1,g(s)ds) >= integ(t0,t0+1, y0-M(s-t0) ds)
>= intég(t0,t0+1, y0-M ds) >= intég(t0,t0+1, Ads) = A

donc f non bornée.

(pfoui...)