L'enseignement des maths par l'exemple

[leon1789]

Pour revenir à l'article en cause, la différence semble être entre des exemples pseudo-concrets et des exemples abstraits. Ce qui n'est pas la même chose qu'une absence d'exemple opposée à des exemples.

Exactement ! :++:

[JJa]

Bonjour,

Pour étendre cette intéressante discussion dans une direction un peu différente, une question qui me tient à cœur concerne la distinction entre d'une part, trouver comment résoudre un problème et d'autre part, comment exposer correctement et rigoureusement la solution du problème.
Il me semble que l'enseignement est plutôt axé sur le second point : on append à présenter rigoureusement la démonstration et le résultat, ceci avec des méthodes et des moyens (utilisation de théorèmes, résolutions d'équations, etc…) qui sont couramment enseignés.
Toutefois, avant la phase de rédaction bien structurée de sa copie, l'élève ou l'étudiant doit avoir "découvert" la démarche qui même à la solution. Dans la phase préliminaire il est, me semble-t-il, laissé livré à lui-même sans grande aide ni méthode de recherche bien enseignée. Il doit faire grand appel à son intuition et procède souvent un peu au hasard, avec des tentatives successives de démonstrations jusqu'à ce que l'une d'elle aboutisse.
En pratique, il me semble que, pour la première phase, l'enseignement actuel se limite le plus souvent à faire faire à l'élève des exercices jusqu'à ce qu'il acquière du savoir-faire en la matière.
Il y a une certaine analogie entre ce qui vient d'être évoqué (un peu caricaturalement) et la recherche mathématique à un niveau plus élevé et plus général : d'abord la reconnaissance d'une conjecture nouvelle, puis ensuite et parfois longtemps plus tard, la démonstration de validité de la conjecture qui devient, de ce fait, un théorème.
On en revient ainsi à certains aspects du débat ouvert ici. La phase préliminaire est une démarche plutôt expérimentale qui, constatons-le, procède essentiellement par tâtonnements, observations, essais, comparaisons, vérifications, un peu comme en physique. La seconde phase est une démarche que l'on peut qualifier de mathématique au sens strict.
On retrouve cette distinction dans deux directions de développement de logiciels : D'une part, les programmes de recherche systématique de coïncidences et test numériques de conjectures (programmes le plus souvent "home made" et réalisés spécifiquement selon les besoins). D'autre part les logiciels de calcul formel constituant des outils et apportant une aide aux démonstrations (programmes d'hors et déjà plus généralistes et dont les performances ont très largement progressés).
Les personnes intéressées par un papier de vulgarisation (donc sans entrer dans la théorie, mais restant au niveau d'une présentation ludique), peuvent jeter un coup d'œil au papier intitulé "MATHEMATIQUES EXPERIMENTALES" à cette adresse:
http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum5/read.php?2,453188,453188#msg-453188