Exercice sur les Nombres Complexes : Terminal S !

[neversovice]

bonjour a tous.je suis en terminal S, on ma donné un exercice sur les complexes que je dois rendre le 16 oct . voici l'énoncé :

On considère un polynôme P défini par :
P(z) : z4(puissance) - 6z3(puis.)+24z²-18z+63

1) Determiner les réels a, b, et c tels pour tout complexe z :
P(z)=(z²+3)(az²+bz+c)

2) Resoudre dans C l'équation P(z) = 0
3 ) Placer dans le plan O,u,v les points A, B,C et D d'affixes :
za = i(racine)3 zb=-i(rac)3 zc=3+2i(rac)3 zd = zc(barr) donc zd= 3-2i(rac)3
Montrer que ces points appartiennent a un meme cercle

4) On note E le symétrique de D par rapport a O
Determinerl a nature du triangle BEC

J'ai réussi sans problemes 1 et 2. Pour les plus malins vous remarquerez que les racines de P(z)=0 sont les 4 points donné dans le 3. Mais voila j'ai calculé les modules de A,B,C et D, je ne trouve pas la meme valeur. Comment trouver qu'ils sont sur le meme cercle?

Merci d'avance.

[Doraki]

Mais voila j'ai calculé les modules de A,B,C et D, je ne trouve pas la meme valeur. Comment trouver qu'ils sont sur le meme cercle?

Merci d'avance.

Si tu as placé les points tu devrais voir que le cercle n'est pas centré en O.
Les modules de zA,zB,zC,zD sont les distances entre les points A,B,C,D et O donc c'est normal qu'ils soient différents puisqu'ils ne sont pas sur un cercle centré en O.

[neversovice]

D'accord mais la question était de : montrer qu'ils sont sur un même cercle.
Il
Hypothèse (peut etre fausse): En admettant que ce n'est pas le cercle de centre O du fait que leurs modules soient tous différent, il doit exister un point x tel que la distance entre x et chaque point soit la même, il est maintenant question de démontrer l'existence de ce point.Mais je capote .
merci de m'aider d'avance

[Huppasacee]

Bonjour

Remarque les affixes de A et B
Si un cercle passe par A et B , où est son centre? ( sur quelle droite ?)
Idem pour C et D
( c'est la même droite )
Si on trouve un point de cet axe à égale distance de A et C, ou A et D , on a trouvé le centre cherché

[neversovice]

Merci bien c'est apparemment une bonne piste !

[toticonte]

Bonjour,
Si les 4 points se trouve sur le meme cercle donc chaque trois entre eux sont sur le meme cercle. donc fo prendre le triangle ABC et son pote ABD . calculer les centres des cercles pour les deux et nomrmalment ça doit coincider.
boncourage.

[neversovice]

Mince je n'arrive vraiment pas trouver le centre du cercle !j'ai beau placer les points , je ne vois rien ! :triste:

[rene38]

Bonjour

Montrer que ces points appartiennent a un meme cercle

Si j'ai bien lu, il ne s'agit pas de trouver le centre mais seulement de montrer l'existence du cercle contenant les 4 points.

Comme suggéré précédemment, 3 de ces points définissent un cercle.
Des considérations de symétrie permettent alors d'affirmer que le 4ème point appartient à CE cercle.

[neversovice]

D'accord j'ai calculé le centre de gravité de ABC et ABD , mais cela me donne de résultat différent : respectivement 6i(rac)-3 et 2i(rac)3-3.....

[rene38]

D'accord j'ai calculé le centre de gravité de ABC et ABD , mais cela me donne de résultat différent : respectivement 6i(rac)-3 et 2i(rac)3-3.....

A moins que ces triangles soient équilatéraux -ce que je ne crois pas- le centre de leur cercle circonscrit n'est pas leur centre de gravité !

[Huppasacee]

Le centre du cercle passant par A et B se trouve sur l'axe des abscisses car les 2 nombres complexes sont conjugués
Pareil pour C et D
Le centre I a donc pour abscisse x et pour ordonnée 0
IA² = .... A ( 0 ; racine 3)
IC² = .... C ( 3 ; 2 racine 3)
IA² = IC²

[Huppasacee]

Cependant, ainsi que l'a signalé rene38, il suffisait peut être de de dire que les 4 points sont cocycliques
Cela est évident :

Tout point de Ox est équidistant de A et B
Il est aussi équidistant de C et D
La médiatrice de AC n'est pas parallèle à Ox, donc ces 2 droites sont sécantes
Le point d'intersection ......

[neversovice]

Bref je ne suis toujours pas arrivé a montrer qu'ils se situent sur le même cercle. J'aimerai savoir si la question 2 pourrait aider à la résolution de la question 3. Je m'explique : un exercice de mathématiques est toujours conçu dans un concept et ordre logique, chaque question nécessite une réponse, et chaque réponse entraine une nouvelle question. Dans mon cas, y aurait-il un lien entre la 2 et 3? Les 2 premieres questions ne sont surement pas la pour faire jolie.

[neversovice]

Le centre du cercle passant par A et B se trouve sur l'axe des abscisses car les 2 nombres complexes sont conjugués
Pareil pour C et D

Qu'entends tu par conjugués?