Intégrale de lebesgue

[Mohamed]

bonsoir

j'ai besoin de votre aide pour un petit exo
(X,A,u) un espace mesuré tel que u(X)<+infini et f:X----->R+ intégrable.
Pour tout n dans n
A_n = {x dans X tel que n<=f(x)< n+1}
B_n = {x dans X tel que f(x)>=n}

1) Mq sum(n*u(A_n),n=1..infini)=sum(u(B_n),n=1..infini)
2)Mq sum(B_n,n) est convergente

Merci d'Avance!

[yos]

A_n = {x dans X tel que n=n}

1) Mq sum(n*u(A_n),n=1..infini)=sum(u(B_n),n=1..infini)

Bonjour.
Je dirais que c'est faux.
Prends X=[0,1], (prolongée en 0).

[le_cheveulu]

Classique mais étonnant comme exo!

Bon remarque une chose :



Comme les A_p sont disjoint, la mesure de B_n est égale à la somme des mesures de A_p . Ensuite tu sommes des deux côtés et tu obtiens :



Ensuite en inversant l'ordre des sommes (attention aux changements sur les bords), tu trouves la formule qu'on te demande de montrer.

Pour la question 2), il faut réutiliser la question 1) en remarquant qu'on a une inégalité bien sympa :



Avec ça tu devrais t'en sortir!

www.mathsup.ouvaton.org

[yos]

En effet, j'avais raté le "n" devant u(A_n).