Valeurs propres

[may prepa]

bonjour à tous,
je planche depuis un petit moment sur un exercice que je n'arrive pas à résoudre.
j'ai deux matrices A et B telles que A+B=I2 et A^2=A et B^2=B, je dois dans un premier temps montrer que A et B ont même valeurs propre, puis que trouver les valeurs propre de aA+bB.

Donc j'ai commencé par essayer de trouver une relation entre A et B; donc j'ai calculer (A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2=I2=A+B+AB+BA=I2+AB+BA
donc AB=-BA
mais je suis bloquée ici si quelqu'un pouvait m'aider s'il vous plait

[yos]

montre que les vp de A sont parmi 0 et 1.
Cela dit ton énoncé est incomplet car si et ...

[may prepa]

merci pour ton aide.d'accord je ne savais pas ça, pourrais tu me montrer d'où viens cette propriété, je n'arrive pas à le démontrer.Mais dans ce cas A et B ont pour valeurs propres 0 ou 1 ,ou 0 et 1, mais comment savoir que A et B ont la même valeur propre?

[digardel]

T es en quelle année.La propriété que cite Yos est une propriété de 2nde année .
Si P est un annulateur de A alors les valeurs propres de A sont parmi les racines du polynome.P. C est une conséquence quasi immédiate du théorème de décomposition des noyaux

[digardel]

En fait dans le cas A² = A ,çà peut se faire sans la propriété que je viens de citer .AX=aX implique A²X= a²X mais comme A²=A alors a²X=aX et donc a² = a. (a est une valeur prope associée au vecteur prope X)

[may prepa]

d'accord, je suis en deuxième année, en PT* mais nous n'avons pas vu la propriété que tu me cite...mais n'est ce pas possible que A est une seule valeur propre 0 par exemple et B en ai aussi une seule qui soit 1?parce que dans ce cas A et B n'ont pas les mêmes valeurs propres?

[yos]

mais n'est ce pas possible que A est (sic) une seule valeur propre 0 par exemple et B en ai aussi une seule qui soit 1?parce que dans ce cas A et B n'ont pas les mêmes valeurs propres?

C'est l'exemple que je t'ai mis plus haut. Donc je répète : ton énoncé est incomplet.