Enveloppes

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
Galax
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Enveloppes

par Galax » 07 Oct 2008, 23:20

Petit paradoxe amusant.

On met dans l'enveloppe A une certaine somme d'argent et dans l'enveloppe B le double de cette somme. On vous propose de choisir une des deux enveloppes au hasard, et de regarder à l'interieur. Vous avez alors la possibilité de gagner le montant que vous voyez, ou bien de changer pour l'autre enveloppe.

A priori il n'y a pas d'interet particulier à changer puisqu'on a bien 50% de chances d'avoir choisi 'la bonne' enveloppe dès le départ.

Le paradoxe vient du raisonnement suivant :
Soit X le montant que l'on voit dans la 1ere enveloppe, la 2eme enveloppe a donc 50% de chances de contenir 2X et 50% de chances de contenir X/2.
En changeant d'enveloppe l'esperance de mon gain sera donc 0.5*2X+0.5*X/2 = 1.25X qui est >X, j'ai donc interet à changer ...
Le meme raisonnement s'applique bien sur si j'avais choisi la 2e enveloppe en premier, d'où le paradoxe.

Good luck



scelerat
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par scelerat » 08 Oct 2008, 10:35

Galax a écrit:En changeant d'enveloppe l'esperance de mon gain sera donc 0.5*2X+0.5*X/2 = 1.25X


Non. l'esperance de gain sera P(X=V)*2X+P(X=2V)*X/2. Les deux probabilites sont bien de 0.5, mais quand on remplace la variable aleatoire X par sa valeur dans chaque cas, on a bien une esperance de 1.5V, la meme qu'au depart.

Galax
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par Galax » 08 Oct 2008, 18:00

Je comprends ta reponse et c'est effectivement la bonne explication.

Cependant si je trouve 100€ dans la 1ere enveloppe, ai-je 50% de chances d'avoir 50€ et 50% de chances d'avoir 200€ dans l'autre ?

scelerat
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par scelerat » 10 Oct 2008, 18:32

Galax a écrit:Je comprends ta reponse et c'est effectivement la bonne explication.

Cependant si je trouve 100€ dans la 1ere enveloppe, ai-je 50% de chances d'avoir 50€ et 50% de chances d'avoir 200€ dans l'autre ?


Non, on a 100% de chances d'avoir 50 et 0% d'avoir 200, ou 0% 50 et 100% 200, on ne sait pas dans laquelle des deux situations on se trouve mais elle n'est plus aleatoire.

Sve@r
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par Sve@r » 10 Oct 2008, 21:03

Ca ressemble au jeu que je connaissais sous cette forme:
Un homme arrive devant 3 portes. Derrière l'une d'elle il y a un trésor et on lui demande de choisir celle qu'il ouvrira. Il choisit donc une des portes (mais sans l'ouvrir). Après qu'il ait choisi, le maitre du jeu (qui connait l'emplacement du trésor) retire des possibilités une des deux mauvaises portes restantes. Maintenant l'homme a le droit de changer son choix. Doit-il le faire ?

Il est développé ici http://maths-forum.com/showthread.php?t=62709

Imod
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par Imod » 10 Oct 2008, 21:32

C'est un grand classique comme : "M et Mme Dupond ont deux enfants , on sonne à la porte ..."

Si l'exercice est bien posé comme tu l'a fait , c'est élémentaire sinon : crépage de chignon garanti :hum:

Imod

Galax
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par Galax » 11 Oct 2008, 15:31

Je pense que dans le cas des enveloppes, l'absence d'information sur la répartition des montants envisageables dans les enveloppes font que les raisonnements probabilistes aboutissent à des aberrations.
Si l'on précisait par exemple que les montants sont tous inférieurs à M (richesse totale de la planete par exemple), et que tous les couples (x,2x) de montants sont équiprobables (x appartenant à [1,M/2]), alors la décision devient simple, si l'on voit un montant

 

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