Limite de de f(a_n)

[Rantanplan]

Bonjour !
J’ai un problème qui doit sûrement être simple à résoudre, mais je ne sais pas par où partir …

E et F métriques avec F complet. A une partie de E.
Soit f de A dans F uniformément continue.
Soit (a_n) une suite de A qui converge vers x dans E
On sait : f(a_n) converge vers b dans F
Comment montrer que b ne dépend que de x et pas de (a_n).

L’exercice en lui-même est plus long donc je pense qu’il y a des données qui ne doivent pas servir … mais je ne vois franchement pas comment montrer cela … par l’absurde peut être …

Merci d’avance !

[yos]

]E et F métriques avec F complet. A une partie de E.
Soit f de E dans F uniformément continue.

C'est pas f de A dans F??
Sinon c'est évident : b=f(x) par continuité de f.

[Rantanplan]

Euh ... si c'est f de A dans F désolé.
Je réédite le premier message pour le modifier, merci.

[Maxmau]

Bj

Si (bn) est une suite d’éléments de A qui converge aussi vers x,
Montre que d(f(an), f(bn)) tend vers zéro

[leon1789]

Bj

Si (bn) est une suite d’éléments de A qui converge aussi vers x,
Montre que d(f(an), f(bn)) tend vers zéro

oui, en utilisant la continuité comme l'a dit yos.

[Rantanplan]

Ah ! Pas bête du tout !
Je vais essayer ça !
Merci !

[Maxmau]

oui, en utilisant la continuité comme l'a dit yos.

Bj

En utilisant l'uniforme continuité sur A

[Rantanplan]

J'ai réussit à faire cette question !
Merci pour votre aide !

[leon1789]

Bj
En utilisant l'uniforme continuité sur A

Je ne pense pas, car x est fixé, donc la continuité suffit.

(En plus, il n'y a pas d'hypothèse pour justifier l'uniforme continuité.)

[Maxmau]

Je ne pense pas, car x est fixé, donc la continuité suffit.

(En plus, il n'y a pas d'hypothèse pour justifier l'uniforme continuité.)

Après rectification de l'énoncé due à la remarque de Yos, f n'est pas uniformément continue sur E mais seulement sur A et x n'est pas forcément dans A

[leon1789]

Après rectification de l'énoncé due à la remarque de Yos, f n'est pas uniformément continue sur E mais seulement sur A et x n'est pas forcément dans A

:marteau: ha oui, je n'avais pas l'hypothèse disant que f est uniformément continue sur A :dodo:

[leon1789]

(En plus, il n'y a pas d'hypothèse pour justifier l'uniforme continuité.)

Pauv' léon, tu as bu ou quoi ? :ptdr:

[mathelot]

bonsoir,


soient deux suites a et u qui converge vers x.
on les mixe en définissant la suite c:




c est une suite convergente donc de Cauchy.
soit
on choisit grâce à l'uniforme continuité tel que
si alors

on en déduit que est une suite de Cauchy.
or, une de ses suites extraites converge vers b.

d'où converge aussi vers b.

Ceci montre qu'une fonction uniformément continue dans un voisinage
épointé de se prolonge en

[Maxmau]

bonsoir,


soient deux suites a et u qui converge vers x.
on les mixe en définissant la suite c:




c est une suite convergente donc de Cauchy.
soit
on choisit grâce à l'uniforme continuité tel que
si alors

on en déduit que est une suite de Cauchy.
or, une de ses suites extraites converge vers b.

d'où converge aussi vers b.

Ceci montre qu'une fonction uniformément continue dans un voisinage
épointé de se prolonge en

Bj

Ca me parait un peu compliqué. Est-ce qu'on ne peut pas dire plus simplement:

d(an,un) tend vers zéro
D’où (uniforme continuité) d(f(an),f(un)) tend vers zéro
Puis d(f(bn),b) <= d(f(bn),f(an)) + d(f(an),b)