Convexité dans espaces finies

[jeremy58]

bonjour,
je regardais la demonstration du théoreme suivant :
Soit f une fonction gateaux derivable de Rn dans R, alors f convexe equivalent à 0.

Mon probleme se trouve sur
0 implique f convexe.

Alors j'ai trouvé une demo, on part d'une fonction de [0,1] dans R
=(1-t)f(x)+tf(y)-f(x+t(y-x))
on derive cette fonction, on l'évalue en t1 et t2 pour t1, t2 dans [0,1]
ensuite, on calcule qui vaut
(x-y)(t1-t2)(f'(x+t1(y-x))-f'(x+t2(y-x))
Ensuite dans le bouquin ils disent que c'est inferieur ou egal à 0, par hypothese. Or pour moi ce n'est pas egal à


Merci par avance pour vos explications

Bien sur correspond au gradient

[Maxmau]

Bj

Je te rappelle cette formule qui peut (peut-être te rendre service):

La dérivée de f(x+t(y-x)) par rapport à t est le produit scalaire
< grad f(x+t(y-x)) , y-x >

[jeremy58]

Je te remercie pour ta réponse, ca m'a bien aidé.
J'ai encore une question à poser, je suis désolé, j'ai un peu de mal avec les fonctions convexes!
Je dois montrer que sur R+*n est convexe.
Je suppose que je ne dois pas calculer la hessienne ainsi que les valeurs propres, cela est trop difficile a calculer. Pouvez vous m'indiquer une methode?
Merci par avance

[Maxmau]

Re

Le gradient en x = (x1,x2,...xn) de cette fonction f ne doit pas être difficile à calculer.
Essaie d'utiliser la caractérisation de la convexité vue précédemment

[jeremy58]

Oui j'arrive a calculer le gradient mais pas a le reduire à une forme unique,
voila ce que j'obtient :
()
Je voudrais un truc sous la forme scalaire, enfin je suppose que c'est mieu.
Merci

[Maxmau]

Oui j'arrive a calculer le gradient mais pas a le reduire à une forme unique,
voila ce que j'obtient :
()
Je voudrais un truc sous la forme scalaire, enfin je suppose que c'est mieu.
Merci

Re

Je pense qu'il y a des erreurs
La première coordonnée n'est-elle pas ln(x1) - ln(x1+x2+...+xn) ??

Une autre méthode consiste à dériver 2 fois (t) = f(x+th)
(1/2);)’’(0) est la valeur en h du Hessien (au point x)

[Maxmau]

Bj

La deuxième méthode ( calcul ;)''(0) ) se fait très bien
L'inégalité ;)''(0) >= 0 se traduit par une inégalité classique (modulo qq transformations)