2nd irrationalité de racine de 3

[etiene94]

BONJOUR



j'ai un probleme,
a=racine de 3 *b
a^2=3*b^2 donc a^2 est divibles par 3 mais je doit demontrer que a est donc divible par 3
MErci

[Timothé Lefebvre]

Bonjour :we:

Tout nombre multiplié par 3 est divisible par 3 ;)

[etiene94]

mais ce n'est pas ca la ils sont elevé au carré et non multiplié pas 3

[Timothé Lefebvre]

Tu as écris : "a^2=3*b^2"

C'est bien une multiplication par 3 !

[etiene94]

d'accord mais aprés il faut prouver que a et non a^2 mais bien a est divible par 3

[etiene94]

besoin d'aide :triste: :triste:
svp

[boumba daboum]

Puisque 3 est premier, donc irréductible, si 3 divise a*b, 3 divise a ou 3 divise b.

Si 3 divise a*a alors 3 divise a ou 3 divise a...

[etiene94]

j'ai trouvé :D j'attendais ca
Alors a² est un multiple de 3. Donc nécessairement a est aussi un multiple de 3. En effet :
Il existe des entiers p,q tels que a = 3p + q, avec q = 0, 1 ou 2 (division euclidienne, q étant le reste de la division de a par 3)
ainsi a² = (3p + q)² = 9p² + 6pq + q² = 3(3p² + 2pq) + q²
Or a² est un multiple de 3, donc nécessairement q² est un multiple de 3. Or q² = 0, 1 ou 4 donc q² = 0, donc aussi q = 0
On a montré que a = 3p donc a est un multiple de 3.


pk q² est nécessairement multiple de 3 ?