Equation à trois inconnues

[rose-bonbon]

Bonjour ! J'ai un exercice avec des équations du troisième degré à faire, et cela me donne du fil à retordre !
Voila le sujet :
Cent personnes composées d'hommes, de femmes et d'enfants ont dépensé dans un repas 2000 euros ; chaque homme a dépensé 100 euros, chaque femme 20 euros et chaque enfant 5 euros. Quel est le nombre d'homme, de femmes et d'enfants ?

Où j'en suis: J'ai trouvé deux équations :
h+e+f = 100
100h+20f+5e = 2000

Il faut une troisième équation non ?
Je ne la trouve pas :/
Pouvez vous m'aider ? Merci !

[nodgim]

Ce n'est pas cela que l'on appelle une équation du 3ème degré :triste:

[rose-bonbon]

Effectivement. J'ai confonfu. C'est une équation à trois inconnues.
Pouvez vous m'aider ?

[nodgim]

Combien coûte le repas d'un couple avec un enfant ?

[rose-bonbon]

Avec un enfant, on aurait 100h+ 20f = 1995 euros non ?
Puisque l'enfant paye sa part, et qu'il paye 5 euros, il reste 1995 euros.

[rose-bonbon]

Pardon, j'ai mal compris.
Le repas d'un couple, avec un enfant coute 125 euros. Excusez moi .

[nodgim]

OK. En fait, le système que tu as posé au départ est bon, mais tu es génée par le fait qu'il y a 2 équations et 3 inconnues. Il faut juste que tu fixes une valeur et que tu essayes de résoudre. Il y a peut être plusieurs solutions. Elimine déja une valeur, celle que tu veux.

[rose-bonbon]

Que je fixe une valeur ?
Comment ca ?

Mais on ne peux pas utiliser le pris d'un repas avec un couple et un enfant, pour avoir un système de trois équations à trois inconnues ?

On aurait
h+f+e = 100
100h+20f+5e= 2000
100h+20f+5e= 125 ?

[nodgim]

Elimine h par exemple dans ton système.

[nodgim]

Et oublie le 125.

[rose-bonbon]

On a donc un système
h+f+e=100
100h+20f+5e = 2000

Je multiplie la première équation par 100

100h+100f+100e = 10000
100h+20f+5e = 2000

Je soustrais la deuxième ligne à la première

80f+95e = 8000

Mais là, je ne sais pas quoi faire ! :/

[nodgim]

Je connais bien sûr le résultat, je vais poser les équations autrement, je t'ai un peu embrouillée sur ce coup là:
h+e+f=100
100h+20f+5e=2000 que je peux réécrire:
4h+4f+4e=400 (1)
20h+4f+e=400 (2)
en soustrayant (2) -(1): 16h-3e=0 16h=3e
Si h=3 alors e=16; si h=6 alors e=32; etc....
Il ne te reste plus qu'à trouver le bon multiple

[rose-bonbon]

Je ne comprends pas.
J'arrive jusqu'au 16h-3e = 0 et donc 16h = 3e, mais après je ne comprends pas votre raisonnement.Pouvez vour m'expliquer ?

[nodgim]

Maintenant il te faut y aller par tatonnement.
Si tu choisis par exemple pour h:3 forcément e vaudra 16. OK ? car 16h=3e.

[rose-bonbon]

D'accord.
Par tatonnement, je trouve plusieurs solutions.
Dans l'ordre h, e, f : 3 /16/ 81
6/32/62
9/48/43
12/64/24
15/80/5

C'est cela ?
N'y a t'il pas une autre méthode à part par tatonement ? Car dans l'énoncé, il y a une indication disant qu'on trouvera un système que l'on résoudra en exprimant deux inconnues à l'aide de la troisième puis on exploitera le fait que les nombres recherchés sont obligatoirement des naturels.

[nodgim]

Je ne sais si on peut faire plus rapide ou plus simple. Il faut chercher des solutions entières, alors ça ne se résoud pas comme avec les réels. Il existe une méthode plus rationnelle mais un peu compliquée.
Sinon, dans la liste que tu as donnée, il y a la solution.
Laquelle?

[nodgim]

Il ya quand même pour h un mini et maxi. Tu peux les trouver ?

[rose-bonbon]

Toutes les 5 solutions fonctionnent ! non ?
Quelle est la méthode plus compliquée ?

[rose-bonbon]

h mini = 3 et h maxi = 15 ?

[nodgim]

Non, les 5 solutions ne marchent pas. Tu as bien h+f+e qui est correct, mais pour 100h+20f+5e=2000 laquelle est la bonne ?