DM niveau 2ND nombre premier , equation , factorisation , de

[julie170493]

Bonjour , jai un DMa rendre pour samedi , jai un peu de mal ... alors je vais vous écrire l'énoncé suivi de mes reponses (je mettrais V| pour racine carré et ^ pour X sur y ) :

EX 1 :

a ) quelques calculs :

1 : simplifier lexpression : (2V3|-1)(2+V3|)-(1+V3|)²


simplifier revient a factorisé non ? :

=(2V3|-1) x (2+V3|) - (1+V3|) x (1+V3|)
= (1+V3|)[(2V3|-1)(2+V3|)]
=(1+V3|)[2V3|-1 x 2+V3|]
=(1+V3|)(3V3|-2)


b) Prouver que pour tout réel x : 1-(x+1)(x-3) = 5-(x-1)²

un nombre réel : V2|

1-(V2|+1)(V2|-3) = 5-(V2|-1)² : ( demonstation)

1 - (V2|+1)(V2|-3)
=1 - V2|xV2| + V2|x3 - 1xV2| + 1x3 >

=1 - V2|² + 3V2| - V2| + 3
=4 - V2²| + 2V2| ( je n'obtiens pas se qui est demandé ... que faire ?)

c) : Resoudre l'équation : (X+1)(2-X) = (X+1)(2-5X)

X x 2 - X x X + 1 x 2- 1 x X = X x 2 - X x 5X + 1 x 2 - 1 x 5X
2X - X² + 2 - X = 2X - 5(X)² + 2 - 5X
X + X² + 2 = - 3X - 5(X)² + 2
X + X² + 3X + 5(X)² = 2-2
voila donc la j'ai un problème ... je sais que jai faux mais jarrive pas a me corigée ...

EX 2 :

Soient X et Y deux nombres entiers . On note A le nombre 10x+y et B le nombre 10y+x . Prouver que A+B est toujours divisible par 11

(10x+y) + (10y+x) j'ignore comment résoudre cette équation ...
j' ai pensée a une identité remarquable mais je ne pense pas que ce soit juste ...

EX 3 :

a) Trouver deux entiers consécutifs dont le produit augmenté de 7 est égal au carré de l'entier suivant .

n(n+1)+7 = (n+2)²

nxn + nx1 + 7 = (n+2)(n+2)
n² + n + 7 = nxn + nx2 + 2xn + 2x2
n² + n + 7 = n² + 4n + 4
n² + n - 4n - n² = 4 - 7
-3n = -3
n = -3/-3 = 1

b) trouver tous les nombres dont le carré est égal au triple

n² = 3n
n = 3

c) Trouver les nombres dont le triple du carré est égal au double de ce nombre

3n² = 2n
(3xn)² = 2xn
(n x -n)² = -3x2
-n = -6

c'est faux mais pourquoi ?

EX 4 :

on considère l'expression A(x)=(3x-2)² - (x-3)²

a) Calculer la valeur de A pour x = 138

A (138) = (3x138-2)² - (138-3)²
A (138) = (412-2)² - (138-3)²
A (138) = (412² - 2x412x2 + 2²) - (138² - 2x138x3 + 3²)
A (138) = (169744 - 1648 + 4) - (19044 - 828 + 9)
A (138) = 168100 - (19044 + 828 -9) => - devant parenthèse = changement de signe
A (138) = 168100-19863
A(138) = 148 237

b) Factoriser A

A(x) = (3X-2)²-(X-3)²
A= (3X-2) x (3X-2) - (X-3) x (X-3)
A= (3X-2)[(3X-2) - (X-3) x (X-3)]
A=(3X-2)[3X-2 - X+3 x X+3]
A=(3X+2)[2X + 4 + 3X]
A=(3X+2)(5X+4)

c)15519 est-il premier ? On utilisera la question b , pour justifier rigoureusement a réponse .

Par déduction ( en regardant l'énoncé suivant) je peux dire que 151519 n'est pas premier puisqu'il est divisible par 277 et 547

d) Etudier la primalité de 277 et 457

277 et 547 sont des nombres premiers

e) En déduire la décomposition en produit de facteurs premiers de 151519

151519 = 277x547

f) Apres avoire verifier que A(353)=994749 et en utilisant la même métode que ci-dessus , donner la décomposition en produit de facteurs premiers de 994749

A(353) = (3x353-2)²-(353-3)²
=(1059-2)²-(353-3)²
=(1059²-2x1059x2+2²)-(353²-2x353x3+3²)
= 1119359-(353²+2x353x3+3²)
=1119359-(12609+2118-9)
=1119359-10500
=1129859

jai faux ... mais pourquoi ?

puis pour le reste je suis coincée aussi puisque que j'ai raté le f) e) et le d)


MERCI pour votre aide !!

[yvelines78]

bonsoir,

1 : simplifier lexpression : (2V3[COLOR=Green]|-1)(2+V3|)[/COLOR]-(1+V3|)²
qu'est-ce que représente ce trait?

simplifier revient à factoriser non ? : pas de facteur commun pas de factorisation
(2V3|-1)(2+V3|)-(1+V3|)²


faux 1+V3 n'est pas un facteur commun entre les 2 termes mis en couleur!!!
il faut développer l'expression pour trouver un résultat de la forme aVb

[julie170493]

oki merci :id: j'essayerais demain | signifie ce qui est compris dans la racine carrée exemple : V2| + 3X2 nest pas la meme chose que V2+3|X2

[julie170493]

en developpant ça me donne 7V3| + 3V3|² - 3
(je l'avais déjà fais enfaite ^^)

[yvelines78]

1-(V2|+1)(V2|-3) = 5-(V2|-1)² : ( demonstation)

1 - (V2|+1)(V2|-3)
=1-[(V2*V2)+(V2*1)+(V2*-3)+(+1*-3)]
=1 - (V2|xV2) + V2|x3 - 1xV2| + 1x3 > OUI

=1 - V2|² + 3V2| - V2| + 3
=1 - V2²| + 2V2| car (V2)²=2
=1 - 2 +3V2-V2+3
=2+2V2

il faut comparer avec le résultat du développement de :
5-(V2|-1)²
=5-[(V2)²-(2*V2*1)+(1²)]
=5-(2-2V2+1)
=5-2+2V2-1
=2+2V2
les 2 expressions sont bien équivalentes

[yvelines78]

en developpant ça me donne 7V3| + 3V3|² - 3
(je l'avais déjà fais enfaite ^^)

je ne suis pas d'accord!!!


c) : Resoudre l'équation : (X+1)(2-X) = (X+1)(2-5X)
pemplaçons les signes multiplié par * pour éviter les confusion avec x l'inconnue
il ne faut pas développer, mais factoriser pour obtenir une équation produit
(x+1)(2-x) - (x+1)(2-5x)=0
(x-1)[........................]=0
si ab=0, alors a=0 ou b=0

[yvelines78]

EX 2 :

Soient x et y deux nombres entiers . On note A le nombre 10x+y et B le nombre 10y+x . Prouver que A+B est toujours divisible par 11

A+B= (10x+y) + (10y+x) j'ignore comment résoudre cette équation ...
ce n'est pas une équation à résoudre
développe l'expression puis factorise la

EX 3 :

a) Trouver deux entiers consécutifs dont le produit augmenté de 7 est égal au carré de l'entier suivant .
soit n et n+1 et n+2 les 3 entiers
n(n+1)+7 = (n+2)²
tu aurais obtenu la ligne ci-dessous directement en appliquant (a+b)²=a²+2ab+b²
n² + n + 7 = n² + 4n + 4
n² + n - 4n - n² = 4 - 7
-3n = -3
n = -3/-3 = 1 OUI

il aurait été plus astucieux de choisir (n-1), n et ((n+1) pour les 3 entiers

b) trouver tous les nombres dont le carré est égal au triple

n² = 3n
n = 3 NON
n²-3n=0
n(n-3)=0
si ab=0, alors a=0 ou b=0
............

c) Trouver les nombres dont le triple du carré est égal au double de ce nombre

3n² = 2n
de même
3n²-2n=0
continue

[yvelines78]

EX 4 :

on considère l'expression A(x)=(3x-2)² - (x-3)²

a) Calculer la valeur de A pour x = 138

A (138) = (3x138-2)² - (138-3)²
A (138) = (412-2)² - (138-3)²
138*3=414
ce n'est pas astucieux d'utiliser les identités remarquables!!
A (138) = (412² - 2x412x2 + 2²) - (138² - 2x138x3 + 3²)
A (138) = (414-2)² - (135)²
=412²-135²=.................

b) Factoriser A

A(x) = (3X-2)²-(X-3)²
A= (3X-2) x (3X-2) - (X-3) x (X-3)
il n'y a pas de termes commun au 2 termes de l'expression mis en couleur
par contre il y a une identité remarquable a²-b²=(a+b)(a-b) avec a=(3x-2) et b=(x-3)
donc A(x)=[(......)+(....)][(........)-(........)]=(....)(.....)

c)15519 est-il premier ? On utilisera la question b , pour justifier rigoureusement a réponse .

Par déduction ( en regardant l'énoncé suivant) je peux dire que 151519 n'est pas premier puisqu'il est divisible par 277 et 547
d'où sortent ces nombres?
A(138)=15519=(...)(...)
remplace x par sa valeur dans :
(...)
(...)

d) Etudier la primalité de 277 et 547

277 et 547 sont des nombres premiers
pour dire que des nombre sont premiers entre eux, il faut que PGCD(227;547)=1

e) En déduire la décomposition en produit de facteurs premiers de 151519
151519 = 277x547

f) Apres avoire verifier que A(353)=994749 et en utilisant la même métode que ci-dessus , donner la décomposition en produit de facteurs premiers de 994749

A(353) = (3x353-2)²-(353-3)²
reprendre les calculs plus haut

[yvelines78]

jai faux ... mais pourquoi ?

A(353) = (3x353-2)²-(353-3)²
c'est un (a-b)²!!!
=(1059-2)²-(353-3)²
=(1059²-2x1059x2+2²)-(353²-2x353x3+3²)
erreur de calcul
= 1119359-(353²+2x353x3+3²)

[julie170493]

merci beacoup , je vais refaire les calculs dès que jaurais un peu de temps ! je vous ferais surement parvenir mes nouveaux resultats .


(merci pour vos explications et votre patiente)

[julie170493]

re-bonjour tout le monde

voici mes resultats corrigés et juste jespere sinon : :mur: :stupid_in

EX 1 :

a) Sîmplifier l'expression : (2V3-1)(2+V3)-(1+V3)²
=V3(sur ma feuille j'ai developpé )

b) prouver que pour tout reel x : 1(x+1)(x-3)=5(x-1)²

1-(x+1)(x-3) | 5(x-1)²
=x²+2x+4 | =x²+2x+4

donc 1(x+1)(x-3)=5(x-1)²

c) résoudre léquation : (x+1)(2-x)=(x+1)(2-5x)

=(x+1)(4x)=0
=equation produit

soit (x+1)=0 soit 4x = 0
x=-1 x=0/4 = 0


EX 2 : Soit x et y deux nombres entiers. on note A = 10x+y et B= 10y+x
Pouver que A+B est toujours un multiple de 11


A+B = (10x+y)+(10y+x)
= 11x+11y
=11(x+y)

Comme x et y sont deux nombres entiers . Tout nombres entiers multipliés par 11 est un multiple de 11 .

EX 3

1 : Trouver 2 entiers consécutifs dont le produit augmenté de 7 est égal au carré de l'entier suivant

n(n+1)+7=(n+2)²
n=1

2)Trouver tout les nombres dont le carré est égal au triple

n²=3n
n²-3n=0
n(n-3)=0
equation produit

Soit n = 0 soit n-3 = 0
n=3

3)Trouver les nombres dont le triple du carré est égal au double du nombre

3n²=2n
3n²-2n=0
n(3n-2)=0
équation produit
soit 3=0 soit n-2=0
n=2


EX 4 : on considère lexpression A(x)=(3x-2)²-(x-3)²

a: calcuer la valeur de A pour x= 138

A(138) =151519

b) Factoriser A (a partir de là je ne suis pas tres sur de moi)

A(x) = (3x-2)²-(x-3)²
A(x)= [(3x-2)-(x-3)][(3x-2)+(x-3)]
A(x)= (2x+1)(x-5)

c) 151519 est-il premier ? on utilisera la question b pour justifier rigoureusement la réponse

151519= (2*138+1)(138-5)
=(276+1)(138-5)
=38088-1380+138-5
=36841

151519 nest pas premier mais j'ignore comment le prouver grace a la question b

d) Etudier la primalité de 277 et 547

PGCD de 277 et 547

547=277*1+270
277=270*1+7
270=7*38+2
7=2*3+1
2=1*2+0
le PGCD de 277;547 est 1 . ils sont donc premier

e) En deduire la decomposition en produit de facteur premier de 151519

151519 = 277*547

f) apres avoir vérifier que A(353)=994749 et en utilisant la meme méthode que ci dessu donner la decomposition en produit de facteur premier de 994749


A(353) = (3*353-2)²-(353-3)²
=1057²-350²
=1117249-122500
=994749

La suite je n'y arrive pas ...

merci encore de votre aide !! :happy2: