Fonction composée.

[Mme-la-reine-des-radis]

Bonjour, je suis en 1ereS et nous travaillons en ce moment sur les fonctions composée. Il se trouve que j'ai à peu près tous compris sauf une chose, cette histoire d'ensemble de définition.

Je m'explique, j'ai bien compris que prenons un exemple:

f(x)=x-2 Df=R
g(x)=1/x Dg=R-{0}

g°f: x--->x-2--->1/x-2

Après voila mon problème tout reste assez vague je ne comprend pas bien cette histoire d'ensemble de définition pour g°f.Et vraiment encore moins quand je me retrouve avec une fonction du type f=w°v°u.

Pouvez-vous m'expliquer s'il vous plait.

[uztop]

Bonjour,

g°f (x) = g(f(x))
L'ensemble de définition de g est R-{0}; on n'a donc pas le droit de faire g(0); donc dans le cas de g°f, on n'a pas le droit d'avoir f(x)=0
L'ensemble de définition de g°f est donc R-{2} (parce que f s'annule avec x=2)

[Mme-la-reine-des-radis]

ok ok merci mais la ou je me perd c'est si par exemple j'ai:

u(x)=x+3 Du=R
v(x)=1/x Dv=R-{0}
w(x)=Vx Dw=[0;+inf[ (V c'est racine carré)

w°v°u: x--->x+3--->1/x+3--->1/Vx+3

La je comprend vraiment rien aux intervalles ...

[uztop]

il faut partir de la fin et revenir:
est défini pour v°u(x) > 0
On veut donc que v°u(x) > 0, c'est à dire 1/u(x) > 0
Cela est équivalent à dire u(x) > 0
u(x) = x+3 > 0 est équivalent à x > -3
L'ensemble de définition est donc ]-3; +infini [

[Mme-la-reine-des-radis]

ok dac merci sa je crois que j'ai compris mais encore une chose qui n'est pas très claire pour moi, ce sont les variations des fonctions composés de 3 fonction (comme précédemment). Pourriez-vous m'expliquer ?

[uztop]

En fait, c'est assez simple:
quand on compose deux fonctions croissantes, on obtient une fonction croissante;
quand on compose deux fonctions décroissante, on obtient une fonction croissante
quand on compose une fonction croissante et une fonction décroissante, on obtient une fonction décroissante.

En fait, c'est la même règle que pour les signes dans les produits:
+ par + donne +
- par - donne +
+ par - donne -

[Mme-la-reine-des-radis]

Donc la si je prend l'exemple précédent

u(x) est croissante +
v(x) est décroissante -
w(x) est croissante +

donc f est décroissante c'est ça ?

[uztop]

oui exactement, est décroissante sur son ensemble de définition

[Mme-la-reine-des-radis]

Ok et bien merci beaucoup pour votre aide tout est un peu plus claire :).