Matrices

par **localhost** » 22 Sep 2008, 17:56

Bonsoir,

Je me demande comment on peut montrer que pour toute matrice inversible, il existe une suite d'opérations élémentaires de transvection transformant la matrice en la matrice Diag(1,....,1,D) où D est le déterminant de la matrice de départ.

Merci d'avance.

par **abcd22** » 22 Sep 2008, 18:02

Bonsoir,
Ça se montre par récurrence. Sur une matrice de taille n >= 2, montre qu'on peut multiplier par des matrices de transvection pour se ramener à une matrice avec un 1 en haut à gauche et des zéros sur le reste de la première ligne et de la première colonne. Si a_1,1 = 1 c'est facile, sinon il faut trouver comment se ramener à 1

par **localhost** » 22 Sep 2008, 18:06

abcd22 a écrit:Bonsoir,
Ça se montre par récurrence. Sur une matrice de taille n >= 2, montre qu'on peut multiplier par des matrices de transvection pour se ramener à une matrice avec un 1 en haut à gauche et des zéros sur le reste de la première ligne et de la première colonne. Si a_1,1 = 1 c'est facile, sinon il faut trouver comment se ramener à 1

Merci pour votre réponse.

Ça je peux le montrer, et je l'ai déjà démontré, mais je ne vois pas comment ça peut m'aider à montrer le résultat voulu !

par **Maxmau** » 22 Sep 2008, 19:36

localhost a écrit:Merci pour votre réponse.

Ça je peux le montrer, et je l'ai déjà démontré, mais je ne vois pas comment ça peut m'aider à montrer le résultat voulu !

Bj

Les opérations élémentaires reviennent à multiplier la matrice de départ par des matrices de transvection qui sont de déterminant égal à 1.
Tu parviens finalement à une matrice diagonale avec des « 1 » sur la diagonale sauf le dernier terme
Puisque la matrice darrivée a même déterminant que celle de départ, ce dernier terme nest autre que le déterminant de la matrice de départ.

par **localhost** » 22 Sep 2008, 19:45

Maxmau a écrit:Bj

Les opérations élémentaires reviennent à multiplier la matrice de départ par des matrices de transvection qui sont de déterminant égal à 1.
Tu parviens finalement à une matrice diagonale avec des « 1 » sur la diagonale sauf le dernier terme
Puisque la matrice darrivée a même déterminant que celle de départ, ce dernier terme nest autre que le déterminant de la matrice de départ.

Oui ça je le comprends, par contre je ne sais, justement, pas comment aboutir à ça :

Tu parviens finalement à une matrice diagonale avec des « 1 » sur la diagonale

Des 1 sur la diagonale et des 0 partout !

Merci

par **localhost** » 22 Sep 2008, 21:22

abcd22 a écrit:Bonsoir,
Ça se montre par récurrence. Sur une matrice de taille n >= 2, montre qu'on peut multiplier par des matrices de transvection pour se ramener à une matrice avec un 1 en haut à gauche et des zéros sur le reste de la première ligne et de la première colonne. Si a_1,1 = 1 c'est facile, sinon il faut trouver comment se ramener à 1

Bon voilà, j'ai bien compris cette méthode, seulement je ne vois pas comment ramener a1,1 à 1 si c'est différent de 1.

par **Maxmau** » 22 Sep 2008, 21:48

localhost a écrit:
Des 1 sur la diagonale et des 0 partout !

Merci

comme pour toute matrice diagonale, il y a des zéros en dehors de la diagonale

Pour ton pb tu fais apparaitre a11 en 2ième ligne puis avec cette nouvelle 2ième ligne tu fais apparaitre "1" sur la première en utilisant le coeff (1 - a11)

De manière plus explicite:
L2 < ----- L2 + L1 ( L pour ligne)
L1 <------ L1 + (( 1 - a11)/a11)L2

par **abcd22** » 22 Sep 2008, 23:10

Il faut aussi faire le cas où a_1,1 = 0

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