Trace

par **may prepa** » 21 Sep 2008, 15:13

bonjour,
je réfléchis depuis un petit moment sur un exercice :
montrer que (pour tout X appartenant Mn(K)) avec A,B appartenant à (Mn(K))^2 :

tr(AX)=tr(BX) => A=B

j'ai essayé d'écrire AX et BX sous la forme d'une somme:
AX=somme(a(ij)x(ij).E(ij)) mais ça ne m'aide pas pour prouver l'implication pourriez vous m'aidez s'il vous plait.

par **yos** » 21 Sep 2008, 15:17

Prends

.

par **may prepa** » 21 Sep 2008, 15:25

je ne comprend pas, si je prend X=E(ij), je crois que j'ai tr(AX)=tr(A) et tr(BX)=tr(B),mais je ne vois pas en quoi cela prouve que A=B.

je veut dire que par exemple la somme des termes diagonaux peut être la même pour deux matrices sans que ces termes soient égaux.

par **Joker62** » 21 Sep 2008, 15:57

Pour une matrice A quelconque :

On a Tr(A.Eij) = (A)ji

par **may prepa** » 21 Sep 2008, 16:02

et j'ai le droit de prendre une matrice X=E(ij) parce que dans ce cas je ne traite que un cas quelconque non?

par **Joker62** » 21 Sep 2008, 16:22

C'est vrai pour toutes les matrices, donc en particulier pour les matrices élémentaires.

par **Joker62** » 21 Sep 2008, 16:25

Désolé j'ai répondu à côté...
Les matrices élémentaires forment une base de l'espace des matrices.
Il suffit donc de le prouver pour ces matrices en particulier.

Désolé encore.

par **may prepa** » 21 Sep 2008, 17:10

d'accord :) merci beaucoup pour l'aide j'ai compris maintenant!!

par **yos** » 21 Sep 2008, 17:25

Joker62 a écrit:Désolé j'ai répondu à côté...
Les matrices élémentaires forment une base de l'espace des matrices.
Il suffit donc de le prouver pour ces matrices en particulier.

Désolé encore.

Ben non : c'est ta précédente réponse qui est correcte. Peu importe que les Eij forment une base ici.

par **Joker62** » 22 Sep 2008, 13:17

En effet ! Me suis embrouillé tout seul :^)
Désolé.

Trace

trace

Qui est en ligne