Algebre lineaire

[rasta13]

Bonjour à tous! J'ai un petit probleme avec cet exercice :

"Soit les droites suivantes en R^6. Déterminer si L1 et L2 sont disjointes, parallèles, ou si elles intersectent : (les x sont des vecteurs, par conséquent ils sont censé être muni d'une fleche au-dessus)

L1 = {x= (1, 2, 3) + T(-1, 0, 1) | T ;) R } et
L2 = {x= (4, 6, 4) + S(1, 2, 1) | S ;) R }

Tout ce qu j'ai trouvé à faire c'est égaler L1 et L2 pour trouver S et T Ensuite j'ai insérer les valeurs de S et T dans leurs équations de départs, j'ai donc trouvé le point d'intersection (2, 2, 2). Je ne sais pas si c'est la bonne méthodes :hein:

Et comment puis-je savoir si elles sont disjointes ou parallèles ?

Merci de m'éclairer !

[Huppasacee]

Bonsoir

Dans la définition de L1, x désigne le vecteur directeur, et T un point de la droite ?

[rasta13]

Je pense que T (et S) est un parametre et que ce qui suit le T (ou le S) est un vecteur directeur. Ce qui precède le T (ou le S) est un point de a droite.

[rasta13]

Dans ce cas, je sais qu'elles sont sécante en un point. Mais quelles est la methode et les étapes exactes de résolution pour ce genre de problème ?? Car dans ce cas-ci j'ai essayé de trouver un point d'intersection et j'en ai trouvé un donc j'ai eu de la chance.

Merci d'avance!

[Huppasacee]

Les 2 droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires , elles sont coplanaires

Si elles ne sont pas parallèles , elles peuvent être sécantes ( donc coplanaires ) ou disjointes
Dans ce dernier cas, elles ne sont pas coplanaires

Une méthode :
calculer le produit vectoriel de leurs 2 vecteurs directeurs . c'est un vecteur qui est normal au plan qu'elles forment si elles sont coplanaires , auquel cas le vecteur ST est perpendiculaire au vecteur trouvé ( produit vectoriel des 2 vecteurs directeurs )
Pour cela , le produit scalaire de ST par le vecteur trouvé est nul
donc : calculer le produit vectoriel des 2 vecteurs directeurs , puis le produit scalaire de ST par ce vecteur . Si on a 0 , les 2 droites sont coplanaires, donc sécantes.

Une deuxième méthode serait d'écrire les équations paramétriques de chaque droite ( vérifier au préalable qu'elles ne sont pas parallèles ou confondues -> vecteurs directeurs coplanaires )
L1 avec le paramètre t1, L2 avec le paramètre t2

Si elles sont sécantes, il existe un couple (t1, t2 ) tel que les points de chaque droite avec les paramètres respectifs t1 et t2 sont confondus

donc résolution de système

x1 = x2 ( chacun en fonction de son paramètre t1 ou t2)
y1 = y2

on trouve t1 et t2
Si avec ces valeurs t1 et t2 , z1 = z2, alors les 2 droites sont sécantes

[rasta13]

Donc si j'ai bien compris, la résolution serait la suivante:

Verifier si les 2 droites sont parralleles : (-1, 0, 1) = k (1, 2, 1) ? NON, donc les 2 droites ne sont pas parralleles.

Verifier maintenant si il elles sont sécantes en un point :
on égalles les deux droites. on trouve S = -2 et T= -1 ce qui, en inserant les valeurs de T et de S dans leurs equations respectives, donne le meme point (2, 2, 2) donc elles intersctent

Je me trompe ?