Vecteurs niveau seconde

[mikou30]

Bonjour à tous j'ai vraiment besoin d'aide pour ce devoir maison sur les vecteurs !
Le voici (la moitié) svp aider moi merci d'avance.

1) A,B,C un triangle

a) placez I tel que 3AI + CI = 0
placez J tel que AJ = 4/3BC

b) montrez que AI et CJ sont colineaires.

2) On considere un triangle ABC et les points D,E,F et G tels que:

CD = AB ; EA + EB = 0; BF = 1/2BC; G milieu de [BD].

1° Montrer que EBGF est un parallelogramme.
2° La droite (EG) coupe (BF) en I, (CD) en J et (AC) en K.
Demontrer que JG = GE = EK.

voila ce n'est que la moitié du dm le reste je l'ai fait mais ca j'y arrive pas.

merci d'avance !!!

[Sphinx]

1/a)3AI+CI=0 entraîne 3AI+CA+AI=0,soit 4AI=AC.Donc AI=AC/4
b)AJ=4/3BC:aucun problème.
2/a)CD=AB entraîne que (ABDC) est un parallélogramme.
EA+EB=0 entraîne que E est le milieu de [AB]
BF=BC/2 entraîne que F est le milieu de [BC],donc le centre du parallélogramme (ABDC)
Enfin G milieu de [BD]

EF=EB+BF=AB/2+BC/2=AC/2=BD/2=BG,donc (EBGF) est un parallélogramme
b)I est le centre de ce parallélogramme car il est l'intersection de ses diagonales.As-tu fait les homothéties?
Dans ce cas,soit h l'homothétie de centre G de rapport -1(symetrie de centre G).D=h(B),l'image de (AB) par h est la parallèle à (AB) passant par D,c'est-à-dire (CD).h(E) est donc l'intersection de (EG) avec (CD) (en effet h(E) appartient à h((AB))=(CD) car E appartient à (AB)),soit J.Donc JG=GE.
Soit h' l'homothétie de centre E de rapport -1(symétrie de centre E)
A=h'(B).L'image de (BD) par h' est la parallèle à (BD) passant par A,soit (AC).h'(G) est l'intersection de (AC) et (EG) (en effet h'(G) appartient à h'((BD))=(AC) car G appartient à (BD)) ,soit K.Donc GE=EK.
cqfd

[mikou30]

merci beaucoup sphinx !!!