Racine d'un polynome suivant la valeur du paramètre a

[zu240506]

bonjour je suis complètement bloqué sur un question

soient a un nombre réel strictement positif et f la fonction de R dans R

f(x)=x^3-3ax+3a-1

j'ai déja le tableau de varitaion:f est décroissante sur moins l'infini moins racine de a ains que sur racine de a plus l'infini et décressoissante entre les deux

en discutant suivant la valeur du paramètre réel a déterminer les racine dans R du polynome f ainsi que leur nombre

je n'ai jamais vu comment faire avec un polynome du troisième degrés
pouvez vous m'aider? merci davance

[rene38]

Bonjour

Sans doute une histoire de continuité de f, valeurs des extrema et théorème des valeurs intermédiaires.

j'ai déja le tableau de varitaion:f est décroissante sur moins l'infini moins racine de a ains que sur racine de a plus l'infini

Je suppose que tu voulais écrire croissante.

[Maxmau]

Bj

N'y a t-il pas une racine évidente?

[zu240506]

1 est une racine évidente mais pour le reste je reste bloquée

[rene38]

Ben non : la méthode est bien plus simple :

r est racine du polynôme P(x) <=> P(x)=(x-r)(.....)

[zu240506]

mais je ne sais pas comment factoriser un polynome de degrés trois

[rene38]

Tu connais quand même a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²) donc x³-1=...

et -3ax+3a se factorise facilement.

[zu240506]

on trouve f(x)=(x-1)(x²+x+1)-3a(x-1)
donc f(x)=0 on trouve x=1 mais a aucun moment on ne discute de la valeur de a

[zu240506]

comment faire pour qu'une discussion sur a puisse se faire?

[busard_des_roseaux]

bonjour,

le polynome se factorise en un produit de (x-1) par un trinôme.

il n'y a aucun problème.