Question existentielle (dénombrement)

[kimiferrari]

bonjour, je suis complètement perdu et je cherche un peu d'aide.
On considère tous les nombres de 6 chiffres que l'on peut former en permutant les chiffres de 1 à 6.

1) Calculer la somme de ces nombres
2) Trouver le nombre de zéros qui terminent leur produit.
3) Montrer que l'un quelconque de ces nombres n'est ni premier ni carré
parfait.
Si quelqu'un pouvait m'aider à commencer, j'en serai ravi. merci

[kimiferrari]

juste le nombre de zéros dans le produit m'aiderait bien merci

[informix]

1ère question


un nombre vérifiant les conditions de l'exercice s'écrit forcément sous la forme:



où

prend 1,2,3,4,5,6

On sait qu'il y a 6! nombres, soit 720 nombres.

Leur somme peut s'écrit :

S = sum(i=1..720;a_5.10^5 + a_4.10^4 + ... + a_0)
= +
+
....

Soit :

= 279999720

j'espère que c'est correct

je viens de manger trop de viande !!! et ma tête tourne un peu lol

a+

[alben]

Bonjour,
Pour le nombre de zéros, il faut s'interroger sur la façon pour que deux nombres ne comportant que des chiffres de 1 à 6 donne un produit se terminant par 0 (a mon avis ça devrait vouloir dire qu'ils finissent par 2 et 5). Il faut aussi se poser la même question pour ceux qui se terminent par 00, puis 000 etc.
Le dénombrement n'est pas très difficile dans chaque cas mais attention le cas 00 inclut le cas 0 (l'astuce consiste à considérer que si les conditions du double zéro sont remplies, ça ne rajoute qu'un seul zéro)

[kimiferrari]

j'ai bien compris comment il faut séparer les cas, mais il y en aurait bien trop à dénombrer! si tu pouvais m'expliquer sur les premiers nombres, ce serait bien!

[kimiferrari]

pour la dernière question, je me suis dit que les nombres finissant par 2 ne peuvent pas être des carrés parfaits et bien sur ne sont pas premiers. est-ce que cela est juste et répond à la question ?

[alben]

Il faut montrer

1. qu'aucun des nombres obtenu ne peut être premier (ils sont multiples de 3)
2. et qu'aucun n'est un carré parfait

[kimiferrari]

les nombres finissant par 2 ne sont ni premiers ni carré parfait, cela ne suffitt pas pour répondre ?

[kimiferrari]

oulà je crois que je fais erreur oui. Je serai bien heureux d'avoir une aide pour le nombre de zéros et pour montrer le fait qu'il ne soit ni premier ni carré parfait

[nodgim]

Pour le carré parfait: tous les nombres ont 21 pour somme de leur chiffres. C'est divisible par 3, mais pas par 9. Donc ni premiers ni carrés parfaits!

[nodgim]

Pour le nombre de zéros: combien y a t il de nombres qui se terminent par 5 ?
Sont ils plus ou moins nombreux que les nombres qui se terminent par un chiffre pair?
Conclure

[kimiferrari]

720/6 soit 120 nombres
il y a de plus 360 pairs
donc les 5 sont moins nombreux ==> quelle est la conclusion que je ne vois pas ?

[nodgim]

720/6 soit 120 nombres
il y a de plus 360 pairs
donc les 5 sont moins nombreux ==> quelle est la conclusion que je ne vois pas ?

Tous les 5 donneront un 0 (seuls les 5 donnent un zéro). Il y aura autant de zéros dans le produit que de nombres qui se terminent par 5. :happy2:

[kimiferrari]

tu veux dire que la seule possibilité de former un 0 est de multiplier 5 par un pair et c'est le cas. On peut donc utiliser ton raisonnement dans une copie pour dire qu'il y a 120 zéros ?

[kimiferrari]

ça me parait bizarre car lorsque je tente avec des plus petits nombres je ne retrouve pas ta conjecture

[nodgim]

Par exemple?

[nuage]

Salut,
il ne faut pas oublier que les nombres qui se terminent par 25 donnent 2 zéros, ceux qui se terminent par 125 en donnent 3 etc...

[kimiferrari]

ça ne m'aide pas trop tout cela : qqn aurait-il une donnée fiable pour m'aider ?

[nodgim]

Nuage vient de faire une remarque fort juste sur les 5² et 5^3 , qui complète ce que je disais. Avec cela, il ne reste plus qu'à faire le total.
120 se terminent par 5: 120 zéros
24, parmi les 120, se terminent par 25: 24 zéros de plus.
6, parmi les 24, se terminent par 125: 6 zéros de plus.

Il n'y a pas de 5^4. Donc, je dirais 150 zéros.

[informix]

On a trouvé : 158 zéros à la fin du produit !!! :)