Exo application linéaire sur les polynômes

[Anonyme]

voila l'énoncé

Soit E=R[X] ; on désigne respectivement par d et m les applications linéaires de E dans E :
P-> P’ et P->XP où P’ est le polynôme dérivé de P. Soit u l’application de E dans E définie par u(P)=(X²+1)P’-2XP.
a) Exprimer u à l’aide de d et de m. En déduire que u est un endomorphisme de E. Calculer pour tout n appartenant à N, u(X^n).
b) Soit Ek le sous espace vectoriel de E des polynômes de degrés<=k. Pour quelles valeurs de K a-t-on u(Ek) inclus dans Ek ?
c) Dans la suite, on désigne par v la restriction de u a E2. déterminer Im v et Ker v et en donner des bases.
d) Soit w l’application de E2 dans R définie par w(aX²+bX+c)=a+c. Déterminer w o v. En déduire Im v inclus dans Ker w puis l’égalité.

je commence déja a sècher sur calculer sur calculer u(X^n) car je ne sais pas si je dois juste remplacer P par X^n ou bien par (somme des aix^i)?
si vous pouviez me donner au moins quelque indications pour pouvoir m'avancer dans ce problème... car je ne sias pas non plus par comment traité le b)...
merci pour ceux qui voudrons bien m'aider.

[yos]

a et b) "juste remplacer P par X^n " On obtient (n-2)X^(n+1)+nX^(n-1)
donc u(X^n)=(n-2)m(X^n) +d(X^n).
Comme c'est vrai pour tout n, et que les X^n forment une base de E , on a
u=(n-2)m+d.
u(Ek) n'est jamais dans Ek sauf si n=2. Dans les autres cas on augmente le degré de 1 en appliquant u et donc on sort parfois de Ek.

Bon courage

[ptite-mary]

merci beaucoup pour vos indications... j'ai un dernier petit problème pour le d)...
je dois calcules w o v de quoi? de X²? mais cela me donnerais w(v(X²) et je ne sias pas ce que cela fait...
merci de bien vouloir m'aider encore

[Anonyme]

Bonjour,

Soit E=R[X] ; on désigne respectivement par d et m les applications linéaires de E dans E :
P-> P’ et P->XP où P’ est le polynôme dérivé de P. Soit u l’application de E dans E définie par u(P)=(X²+1)P’-2XP.
a) Exprimer u à l’aide de d et de m. En déduire que u est un endomorphisme de E. Calculer pour tout n appartenant à N, u(X^n).

Attention: si tu écris u=(n-2)m+d, alors pour quel entier n ?



d'où

...

[yos]

Bon, j'ai dit une connerie! Heureusement Sporty James veillait.

Pour le d) tu as
wov=wou car u et v coïncident sur E2
u(ax²+bx+c) = (x²+1)(2ax+b)-2x(ax²+bx+c)=-bx²+2(a-c)x+b

wou(ax²+bx+c)=-b+b=0

u(ax²+bx+c) est dans ker v.

Ceci est vrai pour tous les éléments ax²+bx+c de E2.

Donc Imv est inclus dans ker w

Auparavant tu as dû trouver que Imv est de dimension 2.
ker w est donc de dimension au moins 2 et cela ne peut pas être 3 car sinon on aurait w identiquement nulle ce qui n'est pas (dimE2=3).
Donc dim ker w=2 et tu peux conclure à l'égalité.

Si tu connais le théorème du rang, tu peux argumenter autrement pour
dim ker w=2.

[ptite-mary]

merci beaucoup pour vos réponses et votre temps consacrés à mes questions! a bientot :we: