Optimation de chemin dans un triangle

[totolivier]

bonjour

voici l'énoncé (inspiré d'un cas réel). On a trois points A,B,C non alignés et le but est de déterminer un point G tel que la somme des distances: AG+BG+CG soit minimal.

J'ai réussi à trouver pour 4 points, mais pour trois points j'ai un peu de mal.

[TOUITI]

....bonjour ...
Juste une remarque
pour que la somme des distances: AG+BG+CG soit minimal il faut que
la somme des vecteurs : AG BG CG soit nul donc
v(AG) + v(BG)+ v(CG) = 0 .

[Doraki]

Tu cherches le point de Torricelli d'un triangle.

La différentielle d'une distance AM en M est , où
, le vecteur de norme 1 de même direction et même sens que
en différentiant l'expression AG+BG+CG tu obtiens alors :


Cette différentielle doit être nulle donc
Et cela n'est possible que lorsque l'angle entre ces vecteurs est de .

Donc tu en déduis la valeur des angles AGB,BGC, et CGA.

[totolivier]

merci beaucoup.

Par curiosité, comment avez vous fait pour avoir entendu parler du Point de Torricelli?

[Patastronch]

De souvenir, pour trouver ce point géométriquement tu peux tracer les 3 triangles équilatéraux extérieurs (ABC',ACB' et CBA') de ton triangle ABC. Et le point d'intersection des droite AA', BB' et CC' donne le point que tu recherches.