Théorème des gendarmes

[cece89]

Bonsoir

Je sais que lim qd x tend vers 0 de sinx / x vaut 1

je l'ai démontré facilement avec le taux d'accroissement mais je voudrais savoir s'il était possible de le démontrer avec le théorème des gendarmes.

Je connais le résultat final sinx / x compris entre cos x et 1. Mon prof dit que c'est impossible ...mais impossible n'est pas français!

merci de me donner quelques pistes

Bonne soirée

[L.A.]

Bonsoir.

On peut encadrer sinx/x par deux branches d'hyperboles, en considérant :

-1 <= sin x <= +1

Edit : j'ai cru lim en +inf, ça ne sert à rien

[Euler911]

Bonsoir,

Je propose un autre encadrement:


Par valeur positive:

sin x<=x<= tan x

[L.A.]

voila mieux : penser à la dérivation.

[Euler911]

Personnellement je ne pense pas que ce soit mieux: la notion de dérivée découle de la notion de limite! Je trouve que ce n'est pas très judicieux dans une "démonstration" d'utiliser des notions qui sont démontrées grâce à la notion qu'on est en train de démontrer ça n'a aucun sens je pense....

[L.A.]

Personnellement je ne pense pas que ce soit mieux: la notion de dérivée découle de la notion de limite! Je trouve que ce n'est pas très judicieux dans une "démonstration" d'utiliser des notions qui sont démontrées grâce à la notion qu'on est en train de démontrer ça n'a aucun sens je pense....

cet argument est valable si on considère ne pas connaitre la dérivée de la fonction en question. ici on la connait, elle est dans le cours, qui découle (sans le dire en lycée) de la définition de cette fonction par une série entière.
on sait "par ailleurs" l'existence et la valeur de la dérivée, et on peut l'utiliser pour démontrer la limite du taux de variation. donc pour moi aucun problème.

maintenant tout dépend de savoir si la question est de montrer que ce taux admet une limite, sans savoir que la fonction est dérivable bien sûr, ou si on cherche simplement la valeur de cette limite.

enfin bref...

[cece89]

merci pour vos réponses

avec le taux d'accroisement

lim qd x tend vers 0 sinx /x = lim qd x tend vers 0(sinx-sin 0)/ (x-0)

lim qd x tend vers 0(sinx-sin 0)/ (x-0)= cos 0=1

voilà une première façon de faire, je cherche toujours avec le théorème d'encadrement (c'est plus élégant)...

bonne soirée à tous

[Euler911]

voilà une première façon de faire, je cherche toujours avec le théorème d'encadrement (c'est plus élégant)...

Utilise l'encadrement que je te propose plus haut (sin x<=x<= tan x, par valeur positive)
puis divise par sin x et enfin inverse

[cece89]

merci euler911!

alors sin x<=x<= tan x

Peux tu m'expliquer pourquoi?

sin x/ sinx<=x/ sinx<= tan x / sin x
1<= x / sinx <= cox
cosx<= sinx / x<= 1

qd x tend vers 0, cox tend vers 1, 1 tend vers 1
donc sinx/x ten vers 1

ET VOILA!

[Euler911]

Attention tu as démontré cela pour x tendant vers 0 à droite de 0!!! (Vérifie pour "à gauche")

Des explications pour l'encadrement???

Dessine un cercle trigonométrique;)

[Euler911]

sin x/ sinx<=x/ sinx<= tan x / sin x
1<= x / sinx <= cox
cosx<= sinx / x<= 1

Tout n'est pas juste, relis! :happy2:

[cece89]

En effet sur le cercle trigonométrique, l'encadrement m'apparaît clairement. Par contre, j'ai beau relire l'inégalité, je ne vois pas mon ou mes erreurs ...
encore merci pour ta réactivité à cette heure tardive

[Euler911]

En effet sur le cercle trigonométrique, l'encadrement m'apparaît clairement. Par contre, j'ai beau relire l'inégalité, je ne vois pas mon ou mes erreurs ...
encore merci pour ta réactivité à cette heure tardive

Je me suis trompé en lisant;) il n'y a pas d'erreur... (heure tardive je suppose:ptdr:) Allez bonne nuit(sauf si tu as d'autres questions:D)!