Etude de fonction (1ere S)

[Neylio]

Bonsoir à vous, je remercie d'avance les personnes qui m'aideront à résoudre mon exercice de 1ère S.

En effet je rencontre quelques problèmes, voici l'énoncé :

"Dans un repère orthonormé (O; i, j) du plan on considère que le point fixe J (0;1), la parabole P d'équation y = x² et un point M mobile de P d'abscisse x avec 0 <= x <= 1 (signes sont des "inférieur ou égal" ).
On se propose d'étudier les variations de la fonction f: x -> JM définie sur [O;1].

a) Démontrer que : tout réel x appartenant à [0;1], f(x) = V((x²-1/2)²+3/4)

b) Etudier les variations de f sur chacun des intervalles [0;V2/2] et [V2/2;1].

c) Dresser alors le tableau de variations de f avec les valeurs exactes.

d) Quelles doivent être les coordonnées du point M pour que la distance JM soit minimale ? "


J'ai commencé la a) mais je rencontre déjà un problème : l'exercice nous demande de démontrer que f(x)=... mais on nous dit seulement que f(x) = JM au départ , et donc je ne sais pas à quoi doit être égal V((x²-1/2)²+3/4).

Dans tous les cas j'ai fait ceci mais je ne sais pas si cela avancera l'exercice.

a) V((x²-1/2)²+3/4)
= V(x^4 - 2x² * 1/2 + 1/4 + 3/4)
= V(x^4 - x² + 1)

Est-ce nécessaire, cela est-il bon ?

Merci de m'avoir lu et bonne nuit pour certains.

[L.A.]

Bonsoir,

c'est juste, et utile de chercher à simplifier f pour l'étudier ensuite.

Pour établir l'expression de f, penser que la distance entre deux points dans un repère orthonormé s'exprime en fonction de leurs coordonnées et grâce au théorème de Pythagore (lier la longueur aux différences entre chaque coordonnées)

ou (mais je ne pense pas que tu saches de quoi il s'agit) on peut calculer la norme d'un vecteur à partir du carré scalaire.

Pour les questions suivantes, tout tient en un seul mot...

[Neylio]

Merci L.A. de m'avoir répondu aussi vite, je crois que vous m'avez été d'une grande utilité puisque je pense avoir trouvé la solution dans ma tête.

Malheureusement je ne peux pas continuer les maths maintenant puisque je dois arrêter l'ordinateur. Mais je serai là demain pour vous témoigner de mes avancements et j'espère que vous serez présent.

Bonne nuit à tous. :dodo:

[L.A.]

Je serai là, sauf si "vous" continuez à me vouvoyer. Si tu as trouvé la formule, le reste de l'exo ne posera aucun problème à mon avis.

[Neylio]

Bonjour à vous, me revoilà

L.A. d'accord =).

Voici mes réponses trouvés pour l'exercice.
J'espère que'elles sont bonnes corrigez moi dans le cas contraire.

a) Démontrons maintenant que JM = V(x^4 - x² + 1)

Les points J et M sont deux point du plan, qui est orthonormé, de coordonnées respectives (0;1) et (x;x²), on a donc ceci :

JM = V((1 - x²)² + (0 - x)²)
JM = V( 1 - 2x² + x^4 + x²)
JM = V(x^4 - x² + 1)

d'où f(x)= JM = V((x²-1/2)²+3/4)

b) Soient a et b deux réels de [0;V2/2] tels que 0 <= a <= b <= V2/2
donc
0 <= a <= b <= V2/2
0² <= a² <= b² <= (V2/2)² car la fonction carré est croissante sur R+
0 - 1/2 <= a² - 1/2 <= b² - 1/2 <= 2/4 - 1/2
-1/2 <= a² - 1/2 <= b² - 1/2 <= 0
1/4 => (a² - 1/2)² => (b² - 1/2)² => 0 car la fonction carré est décroissante sur R+
1 => (a² - 1/2)² + 3/4 => (b² - 1/2)² + 3/4 => 3/4
V1 => V((a² - 1/2)² + 3/4) => V((b² - 1/2)² + 3/4) => V3/2 car la fonction x -> V(x) est croissante sur R+

f(a) => f(b) donc la fonction f est décroissante sur [0;V2/2]

Soient a et b deux réels de [V2/2;1] tels que V2/2 <= a <= b <= 1

V2/2 <= a <= b <= 1
2/4 <= a² <= b² <= 1 car la fonction carré est croissante sur R+
2/4 - 1/2 <= a² - 1/2 <= b² - 1/2 <= 1-1/2
0 <= (a² - 1/2)² <= (b² - 1/2)² <= 1/2 car la fonction carré est croissante sur R+
3/4 <= (a² - 1/2)² + 3/4 <= (b² - 1/2)² + 3/4 <= 1
V3/2 <= V((a² - 1/2)² + 3/4) <= V((b² - 1/2)² + 3/4) <= V1 car la fonction x -> V(x) est croissante sur R+

f(a) <= f(b) donc la fonction f est croissante sur [V2/2 ; 1]

c) Tableau de variation : je pense pouvoir y arriver seul =)

d) Je ne vois pas comment trouver la réponse à cette question si quelqu'un peut m'aider ^^.

Pour info la question était " Quelles doivent être les coordonnées du point M pour que la distance JM soit minimale ?"

Je reste connecté pour éventuels réponses et merci à vous.

PS : Corrigez moi si j'ai fait des fautes de calcul, de raisonnement ou de rédaction svp =).

[L.A.]

Rebonjour.

le calcul de l'expression et de la variation de f de la question b m'a l'air juste.

J'ai dit que la suite de l'exo tenait en un mot, mais finalement si tu est en début de première S tu ne sais peut être pas de quoi je veux parler, si tu l'avais déjà vu tu y aurais pensé ; c'est pas grave, tu t'en sors très bien sans...

termine le tableau de variation de la même manière, le minimum de JM apparaîtra tout seul...

j'ai pas servi à grand chose et tant mieux :+++:

[seb93350]

Bonjour a tous!
Voila je suis en 1er S et je rencontre un petit souci avec mon dm voila l'enoncé :
On appelle fonction cube la fonction definie sur R par f(x)=x3
2)u et v designent deux reels quelconque, monter que f(v)-f(u) =(v-u)(v2-uv+v2)

On appelle fonction racine carré la fonction f definie sur R+ par f(x)=;)x
2) u et v designet deux reels quelconque monter que f(v)-f(u)=v-u/;)(v)+;)(u)

Je remercie d'avance toutes toutes le personnes qui parviendront a resoudre mon probleme.
Bonne soiréé a vous

[L.A.]

sebqqch, tu peux ouvrir une nouvelle discussion dans la page lycée du forum et y recopier ton énoncé, ce sera sans doute mieux. :zen:

[Neylio]

Bonsoir

Merci encore pour ton aide L.A.

Comme tu l'as dit en dressant le tableau de variation, la question d) s'est faite naturellement. ^^

A+