Problème pour les suites....

[lilie705]

Bonsoir, je me présente, je suis une élève de Terminale S, et je suis ici, parce que depuis la rentrée, je ne m'en sors plus du tout en maths, pour les exercices de suites et de raisonnement par récurrence :triste:
Je viens donc demander un peu d'aide, pour un exercice à faire pour demain.

Voila l'énoncé:

Montrer par récurrence que pour tout n appartenant aux entiers naturels*,
10^n - 1 est un multiple de 9

Pour l'initialisation, ça va, mais pour l'hérédité, ça bloque toujours, je ne m'en sors pas...


Merci d'avance :euh:

[Monsieur23]

Bonjour.

Dans ton hypothèse de récurrence, il faut que tu supposes 10^n = 9k+1.

Ensuite ça marche tout seul !

[lilie705]

Je vais essayer :happy3:

Merci

[lilie705]

Je cherche, je cherche, mais je n'arrive pas à trouver pour l'hérédité l'égalité suivante :
10^(n+1) - 1 = 9k

:peur:

[Monsieur23]

Tu supposes 10^n - 1 = 9k , soit 10^n = 9k + 1.

Ensuite, tu veux montrer que 10^(n+1) - 1 est un multiple de 9, donc de la forme 9k'.

10^(n+1) - 1 = 10*(10^n) - 1.

Tu remplaces 10^n par 9k+1, et ça marche tout seul !

[lilie705]

je trouve 10^(n+1)-1 = 90k + 9 :triste: :triste: :triste:
Je suis désolée

[Monsieur23]

C'est bien !

Et 90k+9, tu crois pas que c'est un multiple de 9 ?

Encore un tout petit effort !

[lilie705]

Oui c'est un multiple de 9, mais cette forme la est suffisante pour dire que 10^(n+1) - 1 est un multiple de 9 car 10^(n+1) - 1 = 90k+9 ? Ou bien je dois encore prouver que 90k + 9 est un multiple de 9 ?

(En tout cas, merci pour ton aide jusque là, c'est vraiment très gentil)

[Monsieur23]

Bah ça se voit comme ça, mais c'est plus joli de dire que
90k+9 = 9*10k + 9*1 = 9*k', avec k' = 10k + 1.

Comme ça, on est sûr que c'est un multiple de 9 !

Tu as compris ?

[lilie705]

Ah oui j'ai compris !!!!

Merci beaucoup, ça me paraît très clair maintenant :id: